Cho x y z là các số thỏa mãn : \(^{x^2+y^2=\left(x+y-z\right)^2}\)
CMR : \(\frac{x^2+\left(x-z\right)^2}{y^2+\left(y-z\right)^2}=\frac{x-z}{y-z}\)
giả sử x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=xyz. cmr \(\frac{x}{1+x^2}+\frac{18y}{1+y^2}+\frac{4z}{1+z^2}\)=\(\frac{xyz\left(22x+5y+19z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\)
Ta có:
\(\frac{x}{1+x^2}+\frac{18y}{1+y^2}+\frac{4z}{1+z^2}=xyz\left(\frac{1}{yz\left(1+x^2\right)}+\frac{18}{xz\left(1+y^2\right)}+\frac{4}{xy\left(1+z^2\right)}\right)\)
\(=xyz\left(\frac{1}{yz+x\left(x+y+z\right)}+\frac{18}{xz+y\left(x+y+z\right)}+\frac{4}{xy+z\left(x+y+z\right)}\right)\)
\(=xyz\left(\frac{1}{\left(x+y\right).\left(x+z\right)}+\frac{18}{\left(y+x\right).\left(y+z\right)}+\frac{4}{\left(z+x\right).\left(z+y\right)}\right)\)
\(=xyz.\frac{\left(z+y\right)+18.\left(x+z\right)+4\left(x+y\right)}{\left(x+y\right).\left(y+z\right).\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{xyz\left(22x+5y+19z\right)}{\left(x+y\right).\left(y+z\right).\left(z+x\right)}\)(đpcm)
cho x,y,z là các số dương thỏa mãn \(xyz=\frac{1}{2}\)CMR : \(\frac{yz}{x^2\left(y+z\right)}+\frac{zx}{y^2\left(x+z\right)}+\frac{xy}{z^2\left(y+x\right)}\ge xy+yz+zx\)
1. Cho các số x, y, z thỏa mãn : (x + y)(y + z)(z + x) = 4. CMR: \(\left(x^2-y^2\right)^3\)+ \(\left(y^2-z^2\right)^3\)+ \(\left(z^2-x^2\right)^3\)= 12 (x - y)(y - z)(z - x)
2. Rút gọn: \(\dfrac{\left(x-y\right)^3+\left(y-z\right)^3+\left(z-x\right)^3}{\left(x^2-y^2\right)^3+\left(y^2-z^2\right)^3+\left(z^2-x^2\right)^3}\) biết (x + y)(y + z)(z + x) = 1
3. Cho a, b, c ≠ 0 thỏa mãn: a + b + c = \(a^2+b^2+c^2\) = 2. CMR: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{abc}\)
MONG MN GIẢI GIÚP EM Ạ!!! EM ĐANG CẦN GẤP ! CẢM ƠN MN NHIỀU
Hầy mình không nghĩ lớp 7 đã phải làm những bài biến đổi như thế này. Cái này phù hợp với lớp 8-9 hơn.
1.
Đặt $x^2-y^2=a; y^2-z^2=b; z^2-x^2=c$.
Khi đó: $a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c$
$\text{VT}=a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3$
$=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$
$=3(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)$
$=3(x-y)(x+y)(y-z)(y+z)(z-x)(z+x)$
$=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(x+z)$
$=3.4(x-y)(y-z)(z-x)=12(x-y)(y-z)(z-x)$
Ta có đpcm.
Bài 2:
Áp dụng kết quả của bài 1:
Mẫu:
$(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(z+x)=3(x-y)(y-z)(z-x)(1)$
Tử:
Đặt $x-y=a; y-z=b; z-x=c$ thì $a+b+c=0$
$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=a^3+b^3+c^3$
$=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$
$=3(x-y)(y-z)(z-x)(2)$
Từ $(1);(2)$ suy ra \(\frac{(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3}{(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3}=1\)
Bài 3:
\(ab+bc+ac=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{2^2-2}{2}=1\)
Do đó:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{abc}\)
Ta có đpcm.
Cho x,y,z thỏa mãn 0<x,y,z<hoặc = 1 và x+y+z=2 CMR \(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\ge\frac{1}{2}\)
Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn : x+y+z = 1. Tìm GTNN của biểu thức:\(A=\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
cho x y z thỏa mãn \(^{x^2+y^2=\left(x+y-z\right)^2}chứngminh\frac{x^2+\left(x-z\right)^2}{y^2+\left(y-z\right)^2}=\frac{x-z}{y-z}\)
Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện \(x\ge y\ge z\).Chứng minh rằng:
\(\frac{xy+yz+zx}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+z\right)^2+\left(x+z\right)\left(y+z\right)+\left(y+z\right)^2}\)
cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(A=\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
mn giúp nha mơn nhiều
Xét: \(\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}-\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}=\frac{x^4-y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)\(=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)\left(x-y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}=x-y\)(1)
Tương tự, ta có: \(\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}-\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}=y-z\)(2); \(\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}-\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}=z-x\)(3)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức (1), (2), (3), ta được:
\(\left[\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\right]\)\(-\left[\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\right]=0\)
\(\Rightarrow\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)\(=\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
Mà \(A=\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)nên \(2A=\frac{x^4+y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4+z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4+x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)\(\ge\frac{\frac{\left(y^2+z^2\right)^2}{2}}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{\frac{\left(y^2+z^2\right)^2}{2}}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{\frac{\left(z^2+x^2\right)^2}{2}}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{z^2+x^2}{z+x}\right)\)\(\ge\frac{1}{2}\left(\frac{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}{x+y}+\frac{\frac{\left(y+z\right)^2}{2}}{y+z}+\frac{\frac{\left(z+x\right)^2}{2}}{z+x}\right)\)\(=\frac{1}{4}\left[\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\right]=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{2}\)(Do theo giả thiết thì x + y + z = 1)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Bài này t làm rồi, "nhẹ" không ấy mà :|
Dự đoán khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\Rightarrow A=\frac{1}{4}\). Ta c/m nó là GTNN của A
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(A=Σ\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)
Cần chứng minh BĐT \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{x+y+z}{4}\)
\(\Leftrightarrow4\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\left(x+y+z\right)Σ\left(2x^3+x^2y+x^2z\right)\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+6x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+4x^2y^2\right)+Σ\left(2x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x^4-3x^3y+4x^2y^2-3xy^3+y^4\right)+Σ\left(x^2z^2-2z^2xy+y^2z^2\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x-y\right)^2\left(x^2-xy+y^2\right)+Σz^2\left(x-y\right)^2\ge0\)
BĐT cuối đúng tức ta có \(A_{Min}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
P/s: Nguồn lời giải Câu hỏi của Vo Trong Duy - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath, rảnh quá ngồi gõ lại :V
Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt tại H. Qua A vẽ đường thẳng song song với BE,CF lần lượt cắt CF,BE tại P và Q. Chứng minh: PQ vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC
cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn : \(x+y+z=xyz\)
CMR : \(\frac{x}{1+x^2}+\frac{2y}{1+y^2}+\frac{3z}{1+z^2}=\frac{xyz\left(5x+4y+3z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
Từ giả thiết \(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)
Khi đó \(\frac{x}{1+x^2}=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+1}=\frac{\frac{1}{x}}{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)}=\frac{xyz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Tương tự cho 2 cái còn lại ta có: \(\frac{y}{1+y^2}=\frac{xyz}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}\)
\(\frac{z}{1+z^2}=\frac{xyz}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\)
Suy ra \(VT=\frac{xyz\left(y+z\right)+2xyz\left(z+x\right)+3xyz\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{xyz\left(5x+4y+3z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
Đpcm