Ta có :

\(\left(\frac{x}{y}\right)^2=\frac{16}{9}\)\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}=\frac{16}{9}\Rightarrow\frac{x^2}{16}=\frac{y^2}{9}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

\(\frac{x^2}{16}=\frac{y^2}{9}=\frac{x^2}{4^2}=\frac{y^2}{3^2}=\frac{x^2+y^2}{16+9}=\frac{100}{25}=4=\left(\pm2\right)^2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2=\left(±2\right)^2.4^2\\y^2=\left(\pm2\right)^2.3^2\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2=\left(\pm2.4\right)^2\\y^2=\left(\pm2.3\right)^2\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2=\left(\pm8\right)^2\\y^2=\left(\pm6\right)^2\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\pm8\\y=\pm6\end{cases}}\)

Mà x và y cùng dấu => ( x , y ) ∈ { ( -8 ; -6 ) ; ( 8 ; 6 ) }

\(\left(\dfrac{x}{y}\right)^2=\dfrac{16}{9}\Rightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{4}{3}\left(x,y>0\right)\Rightarrow\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{3}\)

Đặt \(\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{3}=k\Rightarrow x=4k;y=3k\left(k>0\right)\)

\(x^2+y^2=100\\ \Rightarrow16k^2+9k^2=100\\ \Rightarrow k^2=\dfrac{100}{25}=4\\ \Rightarrow k=2\left(k>0\right)\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=8\\y=6\end{matrix}\right.\)

x² : y²=16/9 =>x²/16=y²/9.

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau,ta có:x²/16=y²/9=x²+y²/16+9=100/25=4

=>x²=4.16=64 .Mà x là số nguyên dương nên x=8

=>y²=4.9=36   .Mà y là số nguyên dương nên y=6

( x : y ) ² =16/9

=> x² : y ² = 16/9

=> x ² = 16/9. y ²

=> 16/9.y ² + y ² =100

=> y ².(16/9 +1 ) = 100

=> 25/9 . y ² = 100

=> y ² = 36

=> y = 6, y= -6 

=> x² + 36 = 100

=> x² =64

=> x = 8 , x = -8

\(\left(x\div y\right)^2=\frac{x^2}{y^2}=\frac{16}{9}\Rightarrow\frac{x^2}{16}=\frac{y^2}{9}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x^2}{16}=\frac{y^2}{9}=\frac{x^2+y^2}{16+9}=\frac{100}{25}=4\)

Do đó:
\(\frac{x^2}{16}=4\Rightarrow x^2=16.4\Rightarrow x^2=64\Rightarrow x^2=8^2\Rightarrow x=\pm8\)\(\frac{y^2}{9}=4\Rightarrow y^2=9.4\Rightarrow y^2=36\Rightarrow y^2=6^2\Rightarrow y=\pm6\)               

Vậy \(x=\left(8;-8\right);y=\left(6;-6\right)\)

Hoặc có thể làm.

\(\left(x\div y\right)^2=\frac{16}{9}\)

\(\Rightarrow\)\(x^2\div y^2=\frac{16}{9}\)

\(\Rightarrow\)\(x^2=\frac{16}{9}.y^2\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{16}{9}.y^2+y^2=100\)

\(\Rightarrow\)\(y^2.\left(\frac{16}{9}+1\right)=100\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{25}{9}.y^2=100\)

\(\Rightarrow\)\(y^2=100\div\frac{25}{9}\)

\(\Rightarrow\)\(y^2=36\)

\(\Rightarrow\)\(y=6;y=-6\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2+36=100\)

\(\Rightarrow\)\(x^2=100-36\)

\(\Rightarrow\)\(x^2=64\)

\(\Rightarrow\)\(x=8;x=-8\)

Vậy \(x=\left(8;-8\right);y=\left(6;-6\right)\)

\(\left(\dfrac{x}{y}\right)^2:x^2+y^2=100\)

\(\dfrac{x^2}{y^2}:x^2+y^2=100\)

\(\dfrac{x^2}{x^2.y^2}+y^2=100\)

\(y^2+y^2=100\)

\(2y^2=100\)

\(y^2=50\)

⇒ \(\left[{}\begin{matrix}y=\sqrt{50}\\y=-\sqrt{50}\end{matrix}\right.\)

Còn lại bạn thay từng tường hợp vào tìm x là được

Áp dụng bđt quen thuộc \(\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}{b}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{a+b}\left(a;b>0\right)\)đc

\(9=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\)

\(\Rightarrow x+y\le9\)

Giả sử \(x\ge y\)thì \(2y\le x+y\le9\)

\(\Rightarrow y\le\frac{9}{2}=4,5\)

Mà y nguyen dương nên \(y\in\left\{1;2;3;4\right\}\)

Với y = 1 ; 2; 3 ; 4 thì x = ...

Tương tự vs trường hợp x < y ta cũng thu đc đáp án như vậy

Vậy ......

Nếu x hoặc y =1;2;3;4 thì sẽ ra rất nhiều nghiệm nhận loại sao

nếu được bạn làm rõ hơn giúp mik nhé

Ta có: \(M=\frac{9}{xy}+\frac{17}{x^2+y^2}\) 

\(=\frac{18}{2xy}+\frac{17}{x^2+y^2}\) 

\(=\left(\frac{17}{x^2+y^2}+\frac{17}{2xy}\right)+\frac{1}{2xy}\) 

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(x,y>0), ta có: 

\(M\ge\frac{17.4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{2}{\left(x+y\right)^2}=\frac{68}{256}+\frac{2}{256}=\frac{35}{128}\)  

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=8\)