Cho hình vuông ABCD có tâm O. Gọi M là trung điểm AB. Điểm N nằm giữa B và C. Điểm P trên cạnh CD sao cho MN//AP.
Chứng minh tam giác BNO đồng dạng DOP và tính số đo góc NOP
Cho hình vuông ABCD có tâm O. Gọi M là trung điểm AB. Điểm N nằm giữa B và C. Điểm P trên cạnh CD sao cho MN song song ÁP. Chứng minh \(\Delta BNO\)đồng dạng với \(\Delta DOP\)
Tính số đo góc \(\widehat{NOP}\)
+) Ta có: DP // AB => ^APD = ^BAP (2 góc so le trong). Mà ^BAP = ^NMB (Do MN // AP)
Nên ^APD = ^NMB => \(\Delta\)ADP ~ \(\Delta\)NBM (g.g) => \(\frac{AD}{NB}=\frac{DP}{BM}\)=> \(AD.BM=NB.DP\)
Hoặc \(AB.BM=NB.DP\)=> \(OB^2=NB.DP\)(Do \(AB.BM=\frac{AB^2}{2}=OB^2\)theo ĐL Pytago)
Hay \(OB.OD=NB.DP\)=> \(\frac{OB}{DP}=\frac{NB}{OD}\)
Xét \(\Delta\)BNO và \(\Delta\)DOP có: ^OBN = ^PDO (=450) \(\frac{OB}{PD}=\frac{NB}{OD}\)(cmt)
=> \(\Delta\)BNO ~ \(\Delta\)DOP (c.g.c) (đpcm).
+) \(\Delta\)BNO ~ \(\Delta\)DOP (cmt) => ^BON = ^DPO (1)
Trong \(\Delta\)ODP có: ^DOP + ^DPO = 1800 - ^ODP = 1350 (2)
Từ (1) và (2) suy ra ^DOP + ^BON = 1350 => ^NOP = 1800 - (^DOP + ^BON) = 450
Vậy ^NOP = 450.
Chuyên ĐHSP HN ( 2014)
5. Cho hình vuông ABCD với tâm O. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Các điểm N, P theo thứ tự thuộc cạnh BC,CD sao cho MN//AP. Chứng minh rằng:
a) \(\Delta BNO~\Delta DOP\) và ^NOP = 45o
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC
c) Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy.
\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\) fhhhhhhhhh
cho hình vuông ABCD , M là trung điểm AB. Trên cạnh DC và BC lấy lần lượt hai điểm P và N sao cho MN // AP và góc PON = 450 ( O là giao điểm hai dường chéo AC và BD ) . CHỨNG MINH RẰNG : tam giác DOP đồng dạng với tam giác BNO.
Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy M (AM=BM). Lấy N,P trên BC và CD sao cho MN//AP
1. CMR tam giác BNO đồn dạng với tam giác DOP và góc NOP=45o
2. BD, AN, PM đồng quy
3. 1/AN2 + 1/AE2 không đổi khi N đi động trên BC
Cho hình vuông ABCD với tâm O. M là trung điểm của AB. Các điểm N,P theo thú tự thuộc các cạnh BC và CD sao cho MN //AP.Chứng minh rằng :
a) tam giác BNO đồng dạng tam giác DOP và góc NOP=45 độ
b)Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC
c)Ba đường thẳng BD,AN,PM đồng quy
Chuyên ĐHSP HN ( năm 2014)
5) Cho hình vuông ABCD với tâm O. Gọi M là trung điểm cạnh AB. Các điểm N; P theo thứ tự thuộc cạnh BC; CD sao cho MN//AP.
Chứng minh rằng:
a) \(\Delta\)BNO ~ \(\Delta\)DOP và ^NOP = 45o
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)NOP thuộc OC
c) Ba đường BD: AN; PM đồng quy
a) Gọi K là giao của MN và CD
Ta có: \(\widehat{BMN}=\widehat{MTD}\)(so le trong và MN//AP) và \(\widehat{MTD}=\widehat{APD}\) (đồng vị và MN//AP)
\(\Rightarrow\widehat{BMN}=\widehat{APD}\)
Xét \(\Delta BMN\)và \(\Delta DPA\)có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{MBN}=\widehat{PDA}\left(=90^o\right)\\\widehat{BMN}=\widehat{APD}\left(cmt\right)\end{cases}}\)
=> \(\Delta BMN~\Delta DPA\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{BM}{DP}=\frac{BN}{DA}\Rightarrow\frac{BM}{BN}=\frac{DP}{DA}\)
Mà \(BM=\frac{AB}{2},DA=BD\sin\widehat{ABD}=\frac{\sqrt{2}BD}{2}=\sqrt{2}OB\)
Do đó: \(\frac{\frac{\sqrt{2}OD}{2}}{BN}=\frac{DP}{\sqrt{2}OB}\Rightarrow\frac{OD}{BN}=\frac{DP}{OB}\)
Xét \(\Delta DOP\)và \(\Delta BNO\)có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{ODP}=\widehat{NBO}\left(=45^o\right)\\\frac{OD}{BN}=\frac{DP}{OB}\end{cases}\Rightarrow\Delta DOP~\Delta BNO\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{DOP}=\widehat{BNO}}\)
Mà \(\widehat{DON}=\widehat{BNO}+\widehat{OBN}=\widehat{BNO}+45^o\)
Và \(\widehat{DON}=\widehat{DOP}+\widehat{NOP}\)
Do vậy \(\widehat{NOP}=45^o\)
2. Ta có \(\frac{OP}{ON}=\frac{OD}{BN}\left(\Delta DOP~\Delta BNO\right)\)
Nên \(\frac{OP}{ON}=\frac{OB}{BN}\Rightarrow\frac{OP}{OB}=\frac{ON}{BN}\)
Xét \(\Delta OPN\)và \(\Delta BQN\)có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{PON}=\widehat{OBN}\left(=45^o\right)\\\frac{OP}{OB}=\frac{ON}{BN}\end{cases}\Rightarrow\Delta OPN~\Delta BON\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{OPN}=\widehat{BON}}\)
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP
Ta có \(\widehat{ION}=\frac{180^o-\widehat{OIN}}{2}=90^o-\widehat{OPN}=\widehat{BOC}-\widehat{BON}=\widehat{CON}\)
=> 2 tia OI,OC trùng nhau
Vậy I thuộc OC
3. Gọi E là giao của AN và PM
BD cắt MN,AP lần lượt tại K,H
\(\Delta BMN\)có: BK là đường phân giác
=> \(\frac{KM}{KN}=\frac{BM}{BN}\). Tương tự \(\frac{HP}{HA}=\frac{DP}{AD}\)
Do đó \(\frac{KM}{KN}=\frac{HP}{HA}\Rightarrow\frac{KM}{HP}=\frac{KN}{HA}=\frac{KM+KN}{HP+HA}=\frac{MN}{AP}\)
\(\Delta EAP\)có: MN//AP => \(\frac{MN}{AP}=\frac{EM}{EP}\) do đó: \(\frac{KM}{HP}=\frac{EM}{EP}\)do đó \(\frac{KM}{HP}=\frac{EM}{EP}\)
\(\Delta EMK~\Delta EPH\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{MEK}=\widehat{PEH}\)
Do đó \(\widehat{MEK}+\widehat{MEH}=\widehat{PEH}+\widehat{MEH}=180^o\)
=> H,E,K thẳng hàng => BD đi qua E
Vậy 3 đường BD,AN,PM đồng quy
cho hình vuông ABCD tâm O. M là trung điểm AB, các điểm N;P thuộc BC và CD sao cho MN//AP. chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC
1. Cho điểm M nằm giữa 2 điểm A và B ( AM<MB). Trên cùng 1 mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, MBEF. Gọi N là giao điểm AF và DE. Tính số đo góc AND.
2. Trên các cạnh BC,CD của hình vuông ABCD với AB=1. Lần lượt lấy các điểm M,N sao cho MC+CN+MN=2. Gọi P,Q lần lượt là giao điểm của BD với AM,AN. CMR: các đoạn thẳng BP, PQ,QD lập thành 3 cạnh của tam giác vuông
Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho MN song song PQ và khoảng cách giữa MN và PQ bằng độ dài AB.
a. Chứng minh MP là phân giác góc QMN;
b. Gọi O là giao điểm của MQ và NP. Tính số đo góc MON