Dễ mà :v

PT <=> 2x² + 2y² + 2xy - 2x + 2y = 0

     <=> (x - 1)² + (y + 1)² + (x + y)² = 0

=> x = 1; y = -1.

Ta có \(2^x+\left(x^2+1\right)\left(y-2\right)\left(y-4\right)=0\)

Mà \(2^x>0,x^2+1>0\)

=> \(\left(y-2\right)\left(y-4\right)< 0\)

=> \(2< y< 4\)

=> \(y=3\)

Thay y=3 vào đề bài ta có:

\(2^x-\left(x^2+1\right)=0\)

=> \(2^x=x^2+1\)

Mà \(2^x\)chẵn với \(x>0\)

=> \(x\)lẻ

Đặt \(x=2k+1\)(k không âm)

Khi đó \(2^{2k+1}=\left(2k+1\right)^2+1\)

=> \(2.2^{2k}=4k^2+4k+2\)

=> \(2^{2k}=2k^2+2k+1\)

+ k=0 => \(2^0=1\)thỏa mãn 

=> \(x=1\)

+ \(k>0\)=> \(2^k\)chẵn 

Mà \(2k^2+2k+1\)lẻ với mọi k

=> không giá trị nào của k thỏa mãn

Vậy x=1,y=3

Ta có: x^2+(x+1)^2=y^4+(y+1)^4 

<=> x^2 + x = y(y+1){y(y+1+2} = {y(y+1)}^2 + 2y(y+1) 

<=> x^2 +x + 1 = {y(y+1) +1}^2 

Do VP là SCP, ta có: 

* Nếu x >=0 
=> x^2 < x^2 +x + 1 <= (x+1)^2 
=> Để VT là SCP => x^2 +x + 1 = (x+1)^2 
=> x =0 => y=0 hay y=-1 

* Nếu x <0 hay x <= -1 (do x nguyên) 
=> (x+2)^2 <= x^2 + x +1 < (x+1)^2 
=> Để VT là SCP 
=> (x+2)^2 = x^2 + x +1 
=> x=-1 => y=0 hay y=-1

Ta có: x^2+(x+1)^2=y^4+(y+1)^4 

<=> x^2 + x = y(y+1){y(y+1+2} = {y(y+1)}^2 + 2y(y+1) 

<=> x^2 +x + 1 = {y(y+1) +1}^2 

Do VP là SCP, ta có: 

* Nếu x >=0 
=> x^2 < x^2 +x + 1 <= (x+1)^2 
=> Để VT là SCP => x^2 +x + 1 = (x+1)^2 
=> x =0 => y=0 hay y=-1 

* Nếu x <0 hay x <= -1 (do x nguyên) 
=> (x+2)^2 <= x^2 + x +1 < (x+1)^2 
=> Để VT là SCP 
=> (x+2)^2 = x^2 + x +1 
=> x=-1 => y=0 hay y=-1

@_@

\(2\left(x+y\right)+1=3xy\)

=>\(2x+2y-3xy=1\)

=>\(x\left(-3y+2\right)+2y=1\)

=>\(-x\left(3y-2\right)+2y-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{1}{3}\)

=>\(-3x\left(y-\dfrac{2}{3}\right)+2\left(y-\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{1}{3}\)

=>\(-3x\left(3y-2\right)+2\left(3y-2\right)=-1\)

=>\(\left(3y-2\right)\left(-3x+2\right)=-1\)

=>\(\left(3x-2\right)\left(3y-2\right)=1\)

=>\(\left(3x-2;3y-2\right)\in\left\{\left(1;1\right);\left(-1;-1\right)\right\}\)

=>\(\left(x,y\right)\in\left\{\left(1;1\right);\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)\right\}\)

mà x,y nguyên

nên (x,y)=(1;1)

ta có:

\(x^3+3x^2+3x+1\ge x^3+x^2+x+1>x^3\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^3\ge x^3+x^2+x+1>x^3\Rightarrow\left(x+1\right)^3=x^3+x^2+x+1\)

<=>x=0=>2^y=1=>y=0

Vậy nghiệm của pt:(x;y)=(0;0)

\(x^2=y\left(y+1\right)\left(y+2\right)\left(y+3\right)\Leftrightarrow x^2=\left(y^2+3y\right)\left(y^2+3y+2\right)\)(*)
Đặt \(y^2+3y+\frac{3}{2}=a\)
khi đó : (*) \(x^2=\left(a-\frac{3}{2}\right)\left(a+\frac{3}{2}\right)=a^2-\frac{9}{4}\Leftrightarrow\left(4x-4a\right)\left(x+a\right)=-9\)
Lập bảng là ok nhé 
 

\(x^2+x+6=y^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+6-y^2=0\)

\(\Leftrightarrow4\left(x^2+x+6-y^2\right)=4\cdot0\)

\(\Leftrightarrow4x^2+4x+24-4y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2+2x+4xy\right)+\left(2x+1+2y\right)-\left(4xy+2y+4y^2\right)+23=0\)

\(\Leftrightarrow2x\left(2x+1+2y\right)+\left(2x+1+2y\right)-2y\left(2x+1+2y\right)+23=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1+2y\right)\cdot\left(2x+1-2y\right)+23=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1+2y\right)\cdot\left(2x+1-2y\right)=-23\)

Ta có bảng: 

Vậy ...