giả sử f(x) = ax\(^2\)+bx+c là tam thức bậc 2 với hệ số nguyên. CMR: nếu f(x) có nghiệm là số hữu tỉ thì 1 trong 3 hệ số a,b,c là chẵn.
a) Cho đa thức f(x) thỏa mã đkiện
x.f.(x+1)=(x+2).f(x)
CMR : Đa thức f(x) có ít nhất 2 nghiệm
b) CMR : Nếu gtrị của bthức f(x)=ax^2+ bx +c chia hết cho 2007 với mọi x nguyên ( a,b là các số nguyên ) thì các hệ số a,b,c đều chia hết cho 2007
a) Ta có:\(x.f\left(x+1\right)=\left(x+2\right).f\left(x\right)\)
+)Thay \(x=0\) ta có:\(2.f\left(0\right)=0\)\(\implies\) \(f\left(0\right)=0\)
Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) có nghiệm là x=0 (1)
+)Thay \(x=-2\) ta có:\(-2.f\left(-1\right)=0\)\(\implies\) \(f\left(-1\right)=0\)
Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) có nghiệm là x=-1 (2)
Từ (1),(2)
\(\implies\) đa thức \(f\left(x\right)\) có ít nhất hai nghiệm
b)Ta có:\(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)
+)Với x=0 \(\implies\) \(f\left(0\right)=a.0^2+b.0+c=c:2007\left(1\right)\)
+)Với x=1 \(\implies\) \(f\left(1\right)=a.1^2+b.1+c=a+b+c:2007\left(2\right)\)
+)Với x=-1 \(\implies\) \(f\left(-1\right)=a.\left(-1\right)^2-b.1+c=a-b+c:2007\left(3\right)\)
Từ (2);(3) cộng vế với vế ta được:
\(\implies\) \(f\left(1\right)+f\left(-1\right)=a+b+c+a-b+c\)
\(=2a+2c\)
\(=2.\left(a+c\right):2007\)
mà \(\left(2,2007\right)=1\)\(\implies\) \(a+c:2007\) \(\left(4\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(4\right)\) \(\implies\) \(a:2007\) \(\left(5\right)\)
Từ \(\left(4\right),\left(2\right)\) \(\implies\) \(b:2007\) \(\left(6\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(5\right),\left(6\right)\) \(\implies\) các hệ số a,b,c đều chia hết cho 2007\(\left(đpcm\right)\)
Cho đa thức f(x)=ax^2+bx+c là một đa thức nguyên ( đa thức có các hệ số là các số nguyên) . Cmr nếu f(1) , f(2) , f(3) đều chia hết cho 7 thì f(m) chia hết cho 7 với mọi m nguyên
Ta có:
\(f\left(1\right)=a+b+c\text{⋮7 }\)
\(f\left(2\right)=4a+2b+c⋮7\)
\(\Rightarrow f\left(2\right)-f\left(1\right)=3a+b⋮7\)
\(f\left(3\right)=9a+3b+c=3\left(3a+b\right)+c⋮7\)
Mà \(3a+b⋮7\)
\(\Rightarrow c⋮7\)
Mà \(a+b+c⋮7\)
\(\Rightarrow a+b⋮7\)
Mà \(4a+2b+c⋮7\)
\(\Rightarrow4a+2b=2\left(2a+b\right)⋮7\)
\(2\text{̸ ⋮̸7}\)
\(\Rightarrow2a+b⋮7\)
Mà \(a+b⋮7\)
\(\Rightarrow\left(2a+b\right)-\left(a+b\right)=a⋮7\)
Có \(a⋮7;c⋮7;a+b+c⋮7\)
\(\Rightarrow b⋮7\)
\(f\left(m\right)=am^2+bm+c\)
Như vậy \(\Rightarrow am^2⋮7;bm⋮7;c⋮7\)
\(\Rightarrow a.x^2+bx+c⋮7\)
Do đó với bất kỳ giá trị nào của m nguyên thì f(m)⋮7
Tam thức bậc hai là đa thức có dạng f(x) = ax2+ bx +c với a,b,c là hằng số khác 0
Hãy xác định các hệ số a,b biết f(1)=2;f(3)=8
1)cho f(x)=ax^3+bx^2+cx+d trong đó a,b,c,d thuộc Z và thỏa mãn b=3a+c.Chứng minh rằng f(1).f(-2) là bình phương của một số nguyên.
2)cho đa thức f(x)=ax^2+bx+c với a,b,c là hằng số.Hãy xác định a,b,c biết f(1)=4,f(-1)=8 và a-c=4
3)cho f(x)=ax^3+4x(x^2-1)+8;g(x)=x^3-4x(bx-1)+c-3.Xác định a,b,c để f(x)=g(x).
4)cho f(x)=cx^2+bx+a và g(x)=ax^2+bx+c.
cmr nếu Xo là nghiệm của f(x) thì 1/Xo là nghiệm của g(x)
5)cho đa thức f(x) thỏa mãn xf(x+2)=(x^2-9)f(x).cmr đa thức f(x) có ít nhất 3 nghiệm
6)tính f(2) biết f(x)+(x+1)f(-x)=x+2
Tam thức bậc 2 là đa thức có dạng f(x)=ax2+bx+c với a,b,c là hằng số (a khác 0). Hãy xác định các hệ số a,b,c, biết f(1)=4; f(-1)=8 và a-c= -4
xét f(x) =ax^2+bx+c
ta co f(1)=a+b+c=4, f(-1)=a-b+c=8
=> 2(a+c)=12
=> a+c=6 kết hợp a-c=-4 => a=1, c=5, kết hợp a+b+c=4 => b=-2
Vậy a=1, b=-2, c=5 là giá trị cần tìm.
Cho đa thức F(x)=ax^2+bx+c(a,b,c là các hệ số nguyên) Chứng minh rằng nếu F(x) chia hêt cho 3 với mọi x thì các hệ số a,b,c cũng chia hết cho 3
xét x=o nên f(x) = c nên c chia hết cho 3
xét x=1 suy ra f(x) = a+b+c vì c chia hết cho 3 nên a+b chi hết cho 3 (1)
xét x =-1 suy ra f(x)=a-b+c chia hết cho 3 tương tự suy ra a-b chia hết cho 3 (2)
từ 1 và 2 suy ra a+b+a-b chia hết cho 3 nên 2a chia hết cho 3 mà (2,3)=1 nên a chia hết cho 3 nên b chia hết 3
Tam thức bậc 2 (theo biến x) là đa thức có dạng f(x)=ax^2+bx+c với a,b,c là các hằng số và a khác 0. Xác định các hệ số a,b,c biết: f(1)=4; f(-1)=8 và a-c=-4
Giúp với!
Chứng minh rằng nếu các hệ số của đa thức:
\(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)
là những số nguyên lẻ thì đa thức \(f\left(x\right)\)không thể có nghiệm số hữu tỉ.
Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c với a, b, c là các hệ số nguyên sao cho abc là số nguyên tố có 3 chữ số. Chứng minh rằng : f(x) không có nghiệm hữu tỉ.