TK: Tìm x,y,z nguyên dương thỏa mãn xyz=2(x+y+z) - Hoc24

\(\Leftrightarrow4y^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4\)

Ta có:

\(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=\left(2x^2+x\right)^2+2x^2+\left(x+2\right)^2>\left(2x^2+x\right)^2\)

\(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=\left(2x^2+x+2\right)^2-5x^2\le\left(2x^2+x+2\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(2x^2+x\right)^2< \left(2y\right)^2\le\left(2x^2+x+2\right)^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(2y\right)^2=\left(2x^2+x+1\right)^2\\\left(2y\right)^2=\left(2x^2+x+2\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=\left(2x^2+x+1\right)^2\\4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=\left(2x^2+x+2\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-2x-3=0\\5x^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\\x=3\end{matrix}\right.\)

- Với \(x=0\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm1\)

- Với \(x=-1\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm1\)

- Với \(x=3\Rightarrow y^2=121\Rightarrow y=\pm11\)

a, TK:

(x lẻ do \(2y^2-8y+3=2\left(y^2-4y\right)+3=x^2\) lẻ)

\(b,\Leftrightarrow\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2+4y+4\right)=9\\ \Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y+2\right)^2=9\)

Vậy pt vô nghiệm do 9 ko phải tổng 2 số chính phương

câu 1,2 nhân 4 vào 2 vế đưa về dạng a²-b²=q(q là số nguyên) rồi tách thành phương trình ước số => tự giải tiếp

còn câu 3 tui hông nghĩ ra....

Thanks bạn

ta có

\(\hept{\begin{cases}xy\left(x-y\right)^2=25\\\sqrt{x^2-xy}+\sqrt{xy-y^2}=\frac{9}{2}\end{cases}}\)

từ \(\left(\sqrt{x^2-xy}+\sqrt{xy-y^2}\right)^2=\frac{81}{4}\Leftrightarrow x^2-y^2+2\sqrt{xy.\left(x-y\right)^2}=\frac{81}{4}\)

\(\Leftrightarrow x^2-y^2+2\sqrt{25}=\frac{81}{4}\Leftrightarrow x^2-y^2=\frac{41}{4}\Rightarrow x^2=y^2+\frac{41}{4}\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x^2-xy}+\sqrt{xy-y^2}\right)=\frac{9}{2}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{41}{4}-\left(xy-y^2\right)}+\sqrt{xy-y^2}=\frac{9}{2}\)

\(\Rightarrow xy-y^2=4\)vậy ta có \(\hept{\begin{cases}xy-y^2=4\\x^2-y^2=\frac{41}{4}\end{cases}}\Rightarrow16\left(x^2-y^2\right)=41\left(xy-y^2\right)\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x=\frac{25}{16}y\end{cases}}\)mà \(x^2=y^2+\frac{41}{4}\Rightarrow\left(\frac{25}{16}y\right)^2=y^2+\frac{41}{4}\Rightarrow y=\pm\frac{8}{3}\Rightarrow x=\pm\frac{25}{6}\)

thay lại hệ để tìm nghiệm thỏa mãn đk căn thức là xong nhé

\(ĐK:x^2-xy\ge0;xy-y^2\ge0\)

Ta viết hệ phương trình về dạng: \(\hept{\begin{cases}x\left(x-y\right).y\left(x-y\right)=25\\\sqrt{x\left(x-y\right)}+\sqrt{y\left(x-y\right)}=\frac{9}{2}\end{cases}}\)

Đặt \(\sqrt{x\left(x-y\right)}=u,\sqrt{y\left(x-y\right)}=v\left(u,v>0\right)\)thì hệ trở thành: \(\hept{\begin{cases}u^2v^2=25\\u+v=\frac{9}{2}\end{cases}}\)

* Xét uv = 5 thì u, v là nghiệm của phương trình \(s^2-\frac{9}{2}s+5=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}s=\frac{5}{2}\\s=2\end{cases}}\)

     +) \(u=\frac{5}{2},v=2\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\left(x-y\right)=\frac{25}{4}\\y\left(x-y\right)=4\end{cases}}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2=\frac{9}{4}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-y=\frac{3}{2}\Rightarrow\left(x,y\right)=\left(\frac{25}{6},\frac{8}{3}\right)\\x-y=-\frac{3}{2}\Rightarrow\left(x,y\right)=\left(-\frac{25}{6},-\frac{8}{3}\right)\end{cases}}\)

     +) \(u=2,v=\frac{5}{2}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\left(x-y\right)=4\\y\left(x-y\right)=\frac{25}{4}\end{cases}}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2=\frac{-9}{4}\left(L\right)\)

* Xét uv = -5 thì u, v là nghiệm của phương trình \(r^2-\frac{9}{2}r-5=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}r=\frac{9+\sqrt{161}}{4}\\r=\frac{9-\sqrt{161}}{4}\end{cases}}\)(loại vì có 1 nghiệm là số âm)

TAI MAY NGU