Bạn kẹp y² giữa 2 SCP

(x²+x)²  < y²  < (x²+x+2)²

Suy ra y² =(x²+x+1)² 

Đến đây bạn khai triển ra rồi tự làm tiếp.

(Xin lỗi bạn làm trên điện thoại ko viết nhanh được có chỗ nào sai bạn tự sửa.)

x^4 + 4x^3+ 6x^2+ 4x = y^2

Hướng dẫn: Ta có: x^4 + 4x^3+ 6x^2+ 4x = y^2 

⇔ x^4 +4x^3+6x^2+4x +1- y^2=1

⇔ (x+1)^4 – y^2 = 1

⇔ [(x+1)^2 –y] [(x+1)^2+y]= 1

\(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2-y=1\\\left(x+1\right)^2+y=1\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2-y=-1\\\left(x+1\right)^2+y=-1\end{cases}}\)

\(\orbr{\begin{cases}1-y=1+y\\-1-y=-1+y\end{cases}}\)

⇒ y = 0 ⇒ (x+1)^2 = 1

⇔ x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2

Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( – 2, 0 )

Chúc bạn hk tốt!!!

 

Bài 1: ĐKXĐ: $2\leq x\leq 4$
PT $\Leftrightarrow (\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x})^2=2$

$\Leftrightarrow 2+2\sqrt{(x-2)(4-x)}=2$
$\Leftrightarrow (x-2)(4-x)=0$

$\Leftrightarrow x-2=0$ hoặc $4-x=0$

$\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=4$ (tm)

Bài 2:
PT $\Leftrightarrow 4x^3(x-1)-3x^2(x-1)+6x(x-1)-4(x-1)=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(4x^3-3x^2+6x-4)=0$
$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $4x^3-3x^2+6x-4=0$

Với $4x^3-3x^2+6x-4=0(*)$

Đặt $x=t+\frac{1}{4}$ thì pt $(*)$ trở thành:
$4t^3+\frac{21}{4}t-\frac{21}{8}=0$

Đặt $t=m-\frac{7}{16m}$ thì pt trở thành:

$4m^3-\frac{343}{1024m^3}-\frac{21}{8}=0$
$\Leftrightarrow 4096m^6-2688m^3-343=0$

Coi đây là pt bậc 2 ẩn $m^3$ và giải ta thu được \(m=\frac{\sqrt[3]{49}}{4}\) hoặc \(m=\frac{-\sqrt[3]{7}}{4}\)

Khi đó ta thu được \(x=\frac{1}{4}(1-\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{49})\)

Nãy mình tìm được một cách giải tương tự cho câu 2.

PT \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(4x^3-3x^2+6x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\4x^3-3x^2+6x-4=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy pt có 1 nghiệm bằng 1.

\(\left(1\right)\Rightarrow8x^3-6x^2+12x-8=0\)

\(\Leftrightarrow7x^3+x^3-6x^2+12x-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^3=-7x^3\)

\(\Leftrightarrow x-2=-\sqrt[3]{7}x\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{1+\sqrt[3]{7}}\)

Vậy pt có nghiệm \(S=\left\{1;\dfrac{2}{1+\sqrt[3]{7}}\right\}\)

Lưu ý: Nghiệm của người kia hoàn toàn tương đồng với nghiệm của mình (\(\dfrac{2}{1+\sqrt[3]{7}}=\dfrac{1}{4}\left(1-\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{49}\right)\))

\(\Leftrightarrow x^4-4x^3+12x^2-32x+32=\left(y-5\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2\left(x^2+8\right)=\left(y-5\right)^2\)

- Với \(x=2\Rightarrow y=5\)

- Với \(x\ne2\Rightarrow x-2\) là ước của \(y-5\) 

Đặt \(y-5=n\left(x-2\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2\left(x^2+8\right)=n^2\left(x-2\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+8=n^2\)

\(\Rightarrow\left(n-x\right)\left(n+x\right)=8\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1;n=-3\Rightarrow y=8\\x=-1;n=-3\Rightarrow y=14\\x=1;n=3\Rightarrow y=2\\x=-1;n=3\Rightarrow y=-4\end{matrix}\right.\) 

Bài này dùng phương pháp kẹp là xong, lười làm bài hả?

dùng kệp không ra, thử mà xem

\(ĐK:\)  \(x,y\in Z\)

Ta thấy:

\(y^2=\left(x^4+4x^3+4x^2\right)+2\left(x^2+2x\right)\)

nên  \(y^2=\left(x^2+2x\right)^2+2\left(x^2+2x\right)\)

Khi đó, ta sẽ chứng minh  \(a^2\le y^2< \left(a+1\right)^2\)  \(\left(o\right)\)  với  \(a=x^2+2x\)

Thật vậy,  ta có:  \(y^2-a^2=2\left(x^2+2x\right)\ge0\)

\(\left(a+1\right)^2-y^2=\left(x^2+2x+1\right)^2-\left(x^4+4x^3+6x^2+4x\right)=1>0\)

nên  \(\left(o\right)\)  được chứng minh

Do   \(a^2\le y^2< \left(a+1\right)^2\)  nên  \(y^2=a^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x^4+4x^3+6x^2+4x=\left(x^2+2x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(2\left(x^2+2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x+2=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-2\end{cases}}}\)

Với  \(x=0\)  thì từ phương trình suy ra  \(y=0\)  \(\left(\text{t/m ĐK}\right)\)

Với  \(x=-2\)  thì ta cũng dễ dàng chứng minh được  \(y=0\)  \(\left(\text{t/m ĐK}\right)\)

Vậy,  \(\left(x,y\right)=\left(0,0\right);\left(-2;0\right)\)  và các vòng hoán vị