a, E là trung điểm của AB (gt) \(\Rightarrow AE=EB=\frac{1}{2}AB\)

\(AB=2AD\left(gt\right)\Rightarrow AD=\frac{1}{2}AB\)

Do đó: \(AE=AD\Rightarrow\Delta AED\) cân tại A \(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ADE}\) (tính chất tam giác cân) (1)

ABCD là hình bình hành(gt) \(\Rightarrow AB//CD\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{EDC}\) ( 2 góc so le trong ) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{EDC}\) mà tia DE nằm giữa 2 tia DA,DC \(\Rightarrow\)AE là tia phân giác của \(\widehat{ADC}\)

Vậy tia phân giác của \(\widehat{ADC}\) đi qua trung điểm E của AB.

b, ABCD là hình bình hành(gt) \(\Rightarrow AB=DC\)

F là trung điểm của DC (gt) \(\Rightarrow FD=FC=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}AB=AD\)

Do đó: \(\Delta ADF\) cân tại D 

\(AB//DC\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{BAD}+\widehat{ADF}=180^0\)

                                 \(\Rightarrow120^0+\widehat{ADF}=180^0\) (vì \(\widehat{BAD}=120^0\) )

                                 \(\Rightarrow\widehat{ADF}=60^0\)

Ta có:  \(\Delta ADF\) cân tại D và \(\widehat{ADF}=60^0\left(cmt\right)\Rightarrow\Delta ADF\) đều

\(\Rightarrow AF=DF=AD\) \(\left(ĐN\right)\)

Mặt khác, DF = 1/2 DC nên AF = 1/2 DC

\(\Delta ADC\)có trung tuyến AF = 1/2 DC nên \(\Delta ADC\)vuông tại A

Vậy \(AD\perp AC.\)

Mong bạn hiêu bài và chúc bạn học tốt.

a) -Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DC tại E.

-Xét tứ giác ABED: \(\widehat{ADE}=\widehat{BAD}=\widehat{DEB}=90^0\)

\(\Rightarrow\)ABED là hình chữ nhật nên \(AD=BE\); \(AB=ED=4\left(cm\right)\)

-Xét △BEC vuông tại E:

\(BE^2+EC^2=BC^2\) (định lí Py-ta-go)

\(\Rightarrow BE^2+\left(DC-DE\right)^2=BC^2\)

\(\Rightarrow BE^2+\left(9-4\right)^2=13^2\)

\(\Rightarrow BE^2=13^2-5^2=144\)

\(\Rightarrow BE=AD=12\left(cm\right)\)

b) \(S_{ABCD}=\dfrac{AD.\left(AB+CD\right)}{2}=\dfrac{12.\left(4+9\right)}{2}=78\left(cm^2\right)\)

c) -Đề sai.

a) Gọi tia phân giác góc C là CM và N là trung điểm của BC.
Do MN là đường trung bình của hình thang ABCD nên AB // MN // DC.
Suy ra \(\widehat{NMC}=\widehat{NCM}\).
Do MC là tia phân giác góc C nên \(\widehat{MND}=\widehat{NCM}\).
Suy ra \(\widehat{NMC}=\widehat{NCM}\).
Vậy tam giác NMC cân tại N hay MN = NC.
mà N là trung điểm của BC nên BN = NC.
Suy ra BN = MN = NC. Vậy tam giác MBC cân tại M.
b) Theo tính chất của đường trung bình của tam giác 2MN = AB + DC.
Mà BC = BN + NC = 2NC = 2MN.
Suy ra BC = AB + CD.

Theo đề ta suy ra MD là khoảng cách từ M đến DC, ME là khoảng cách từ M đến EC

Mà CM là phân giác góc ECD nên ME=MD=MA

Tam giác AED có trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng ---> tam giác AED vuông tại E

Vậy góc AED là 90 độ nha