Đúng xét 3 TH 

TH1: n chia hết 3 suy ra n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3

TH2 : n : 3 dư 1 suy ra n =3k+1 suy ra 2n+1=6k+2+1 chia hết cho 3 suy ra n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3

TH3 : n : 3 dư 2 suy ra n =3k+2 suy ra n+1=3k+3 chia hết cho 3 suy ra n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3

Hà Văn Việt sai rồi vì nếu n=0 thì 0 chia hết cho 6(đúng)

Đúng

Ta có n(n+1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp 

=> n(n+1) chia hết cho 2 => n(n+1)(2n+1) chia hết cho 2 (1)

Ta lại có: n(n+1)(2n+1)=n(n+1)(n-1+n+2)=(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2)

(n-1)n(n+1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp => (n-1)n(n+1) chia hết cho 3 (2)

n(n+1)(n+2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp => n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 (3)

Từ (2) và (3) => (n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 hay n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3(4)

Mà (2;3)=1 (5)

Từ (1)(4) và (5) => n(n+1)(2n+1) chia hết cho 6 với mọi n là số tự nhiên

Vậy,mệnh đề đúng

a) Xét P(n) : “3n < n + 100”:

+ Với n = 1, P(1) trở thành: “31 < 1 + 100”. Mệnh đề đúng vì 31 = 3 < 1 + 100 = 101.

+ Với n = 2, P(2) trở thành: “32 < 2 + 100”. Mệnh đề đúng vì 32 = 9 < 2 + 100.

+ Với n = 3, P(3) trở thành: “33 < 3 + 100”. Mệnh đề đúng vì 33 = 27 < 3 + 100.

+ Với n = 4, P(4) trở thành: “34 < 4 + 100”. Mệnh đề đúng vì 34 = 81 < 4 + 100.

+ Với n = 5, P(5) trở thành: “35 < 5 + 100”. Mệnh đề sai vì 35 = 243 > 5 + 100.

Xét Q(n): “2n > n”.

+ Với n = 1, Q(1) trở thành: “21 > 1”. Mệnh đề đúng vì 21 = 2 > 1.

+ Với n = 2, Q(2) trở thành: “22 > 2”. Mệnh đề đúng vì 22 = 4 > 2.

+ Với n = 3, Q(3) trở thành: “23 > 3”. Mệnh đề đúng vì 23 = 8 > 3.

+ Với n = 4, Q(4) trở thành: “24 > 4”. Mệnh đề đúng vì 24 = 16 > 4.

+ Với n = 5, Q(5) trở thành: “25 > 5”. Mệnh đề đúng vì 25 = 32 > 5.

b)

+ Nhận thấy P(n) không đúng với mọi n ∈ N* (sai với n = 5).

+ Với mọi n ∈ N*, Q(n) luôn đúng.

Xét n=0 => 62n+1 + 5n+2  = 31chia hết 31

Xét n=1 => 62n+1 + 5n+2  = 341 chia hết 31

Giả sử mệnh đề đúng với n = k,tức là có 62k+1 + 5k + 2,ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 tức là chứng minh 62k+3  + 5k+3

Ta có 62k+1 + 5k+2  = 36k .6+5k .25 chia hết 31

<=> 62k+3  + 5k+3 = 36k .216+5k .125

Xét hiệu : 62k+3  + 5k+3 − 62k+1  − 5k+2  = 36k .216+5k .125−36k .6−5k .25

= 36k .210+5k .100 = 36k .207+5k .93−7(36k−5k ) Có 217 chia hết 31, 93 chia hết 31và 36k−5k  chia hết 36 - 5 = 31

=> 62n+3  + 5k+3  − 62k+1 − 5k+2  chia hết 31

. Mà 62k+1  + 5k+2  chia hết 31 nên 62k+3 + 5k+3  chia hết 31

Phép quy nạp được chứng minh hoàn toàn,ta có đpcm 

:D

Ta có: \(6^2\equiv5\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow6^{2n}\equiv5^n\left(mod31\right)\)

\(6^{2n+1}\equiv6.5^n\left(mod31\right)\)

Lại có: 5\(5\equiv5\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow5^n\equiv5^n\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow5^{n+2}\equiv25.5^n\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow6^{2n+1}+5^{n+2}\equiv31.5^n\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow6^{2n+1}+5^{n+2}⋮31\)

Tham khảo:1)CMR với mọi số m,n nguyên thì:a)n^2[(n^2)-1] chia hết cho 12?

A = n²(n²-1) 
* vì n² chia 3 dư 0 hoặc 1 nên n² và n²-1 có một số chia hết cho 3 
=> n²(n²-1) chia hết cho 3 
* n² chia 4 dư 0 hoặc 1 nên n²(n²-1) có một số chia hết cho 4 
=> n²(n²-1) chia hết cho 4 
vì 3 và 4 là hai số nguyên tố cùng nhau nên A = n²(n²-1) chia hết cho 3.4 = 12 

a, Ta có:

\(3^{2n+1}+2^{n+2}=9^n.3+2^n.4\)

\(=9^n.3-2^n.3+2^n.7=3\left(9^n-2^n\right)+2^n.7\)

Ta lại có:

\(9^n-2^n⋮9-2=7;2n.7⋮7\)

\(\Rightarrow3^{2n+1}+2^{n+2}⋮7\left(dpcm\right)\)

\(n^4+2n^3-n^2-2n\)

\(=n^2\left(n^2-1\right)+2n\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Tích của 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 24

=> n⁴ + 2n³ - n² - 2n chia hết cho 24.

\(n^4+2n^3-n^2-2n=n^3\left(n+2\right)-n\left(n+2\right)=n\left(n+2\right)\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Trong \(4\) số tự nhiên liên tiếp có \(2\) số chẵn liên tiếp
Trong hai số chẵn liên tiếp có :
+) Một số chẵn chia hết cho
+) Một số chẵn chia hết cho

Nên tích số chẵn liên tiếp chia hết cho \(8\)
Hay tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho \(8\)
Ta cũng có : Tích \(3\) số tự nhiên chia hết cho \(3\)
Hay tích \(4\) số tự nhiên liên tiếp chia hết cho \(3\)
Vậy tích \(4\) số tự nhiên liên tiếp chia hết cho \(3\)

Vậy tích \(4\) số tự nhiên liên tiếp chia hết cho

đặt A = n . ( 2n + 7 ) . ( 7n + 1 )

Ta thấy trong 2 số n và 7n + 1 sẽ có 1 số chẵn với mọi n thuộc N

A = n . ( 7n + 1 ) \(⋮\)2 ( 1 )

Ta cần chứng minh : n . ( 2n + 7 ) . ( 7n + 1 ) \(⋮\)3 

Giả sử : n = 3k + r ( k \(\in\)N , r = { 0 ; 1 ;2  } )

với n = 3k \(\Rightarrow\)n \(⋮\)3 \(\Rightarrow\)A \(⋮\)3

với n = 3k + 1 \(\Rightarrow\)2n + 7 = 6k + 9 \(⋮\)3 \(\Rightarrow\)A \(⋮\)3

với n = 3k + 2 \(\Rightarrow\)7n + 1 = 21k + 15 \(⋮\)3 \(\Rightarrow\)A \(⋮\)3

Như vậy, A \(⋮\)3 \(\forall\)n \(\in\)N ( 2 )

Mà ( 2 ; 3 ) = 1 

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\)A \(⋮\)6

lên mạng có thì phải

a) Giải:

Đặt \(A_n=11^{n+2}+12^{2n+1}\)\((*)\) Với \(n=0\) ta có:

\(A_0=11^2+12^1=133\) \(⋮133\Rightarrow\) \((*)\) đúng

Giả sử \((*)\) đúng đến giá trị \(k=n\) tức là:

\(B_k=11^{k+2}+12^{2k+1}\) \(⋮133\left(1\right)\)

Xét \(B_{k+1}-B_k\)

\(=11^{k+1+2}+12^{2\left(k+1\right)+1}-\left(11^{k+2}+12^{2k+1}\right)\)

\(=11^{k+3}-11^{k+2}+12^{2k+3}-12^{2k+1}\)

\(=10.11^{k+2}+143.12^{2k+1}\)

\(=10.121.11^k+143.12.144^k\)

\(\equiv\) \(10.121.11^k+10.12.11^k\)

\(\equiv\) \(10.11^k\left(121+12\right)\) \(\equiv\) \(0\left(mod133\right)\)

Theo giả thiết quy nạy \(\left(1\right)\) ta có: \(B_k⋮133\Leftrightarrow B_{k+1}⋮133\)

Hay \((*)\) đúng với \(n=k+1\) \(\Rightarrow\) Đpcm