Gọi số cần tìm là n=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯a1a2a3a4a5a6n=a1a2a3a4a5a6¯

Đặt x=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯a1a2a3x=a1a2a3¯ . Khi ấy ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯a4a5a6=x+1a4a5a6¯=x+1 và n=1000x+x+1=1001x+1=y2n=1000x+x+1=1001x+1=y2 hay (y−1)(y+1)=7.11.13x(y−1)(y+1)=7.11.13x

Vậy hai trong ba số nguyên tố 7,11,137,11,13 phải là ước của một trong hai thừa số của vế trái và số còn lại phải là ước của thừa số còn lại của vế trái.

Đến đây dùng máy tính ta tìm đc n=183184;328329;528529;715716

lí luận là ước rồi thì sao ra thế

Minhf chưa hiểu lắm sao lí luận rồi mà vẫn chưa biết bấm máy

Gọi số phải tìm là: \(n=\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}\)

Đặt \(x=\overline{a_1a_2a_3}\left(x\varepsilon N\right)\Rightarrow\overline{a_4a_5a_6}=\overline{a_1a_2a_3}+1=x+1\)

\(\Rightarrow n=\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}=\overline{a_1a_2a_3}.1000+\overline{a_4a_5a_6}=x.1000+\left(x+1\right)=1001x+1\)

Do n là số chính phương nên ta sẽ có: \(1001x+1=y^2\left(y\varepsilon N\right)\)

\(\Rightarrow y^2-1=1001x\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(y+1\right)=7.11.13.x\)

Ta lại có: \(100\le x\le999\Rightarrow317\le y\le1000\)( * )

Các số 7,11,13 là các số nguyên tố nên \(\left(y-1\right)\left(y+1\right)\)phải chia hết cho 7; 11 và 13. Kết hợp với điều kiện ( * ) ta có:

  - Trường hợp 1: \(y+1=11.13k=143k\Leftrightarrow y=143k-1\)và \(y-1=7k'\left(k,k'\varepsilon N\right)\)

Khi ấy \(k\varepsilon\left(3;4;5;6\right)\)chỉ có \(k=3;k'=61\)thỏa điều kiện \(\Rightarrow x=183\Rightarrow n=183184\)

  - Trường hợp 2: \(y-1=11.13k=143k\Leftrightarrow y=143k+1\)và \(y+1=7k'\left(k,k'\varepsilon N\right)\)

Khi ấy \(k\varepsilon\left(3;4;5;6\right)\)chỉ có \(k=4;k'=82\)thỏa điều kiện \(\Rightarrow x=328\Rightarrow n=328329\)

  - Trường hợp 3: \(y+1=7.11k=77k\Leftrightarrow y=77k-1\)và \(y-1=13k'\left(k,k'\varepsilon N\right)\)

Khi ấy \(k=\overline{5..12}\)chỉ có \(k=11;k'=65\)thỏa điều kiện \(\Rightarrow x=715\Rightarrow n=715716\)

  - Trường hợp 4: \(y-1=7.11k=77k\Leftrightarrow y=77k+1\)và \(y+1=13k'\left(k,k'\varepsilon N\right)\)

Khi ấy \(k=\overline{5..12}\)không tồn tại \(k\)và \(k'\)thỏa điều kiện.

  - Trường hợp 5: \(y+1=7.13k=91k\Leftrightarrow y=91k-1\)và \(y-1=11k'\left(k,k'\varepsilon N\right)\)

Khi ấy \(k=\overline{4..10}\)chỉ có \(k=8;k'=66\)thỏa điều kiện \(x=528\Rightarrow n=528529\left(k,k'\varepsilon N\right)\)

  - Trường hợp 6: \(y-1=7.13k=91k\Leftrightarrow y=91k+1\)và \(y+1=11k'\left(k,k'\varepsilon N\right)\)

Khi ấy \(k=\overline{4..10}\)không tồn tại \(k\)và \(k'\)thỏa điều kiện.

Vậy các số thỏa mãn đề bài là: 183184, 328329, 715716, 528529.

Gọi số cần tìm là \(\overline{abc}\) (a,b,c \(\in N\), 10 > a,b,c \(\ge0\))

TH1: \(\overline{ab}=4\overline{bc}\)

=> \(10a+b=40b+4c\)

=> \(10a=39b+4c\)

Mà b\(\ge1,c\ge0\) => \(39b+4c\ge39\)

=> 10a \(\ge39\)

=> a \(\ge4\)

Do \(\overline{ab}\) là số chính phương

=> \(\overline{ab}\in\left\{49;64;81\right\}\)

- Với \(\overline{ab}=49\) => \(\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=9\end{matrix}\right.\) => 4c = -311 (loại)

- Với \(\overline{ab}=64=>\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=4\end{matrix}\right.\) => 4c = - 96 (loại)

- Với \(\overline{ab}=81=>\left\{{}\begin{matrix}a=8\\b=1\end{matrix}\right.\) => 4c = 41 => c = \(\dfrac{41}{4}\) (loại)

TH2: \(4\overline{ab}=\overline{bc}\)

=> 40a + 4b = 10b + c

=> 40a = 6b + c

Mà \(b\le9;c\le9\)

=> 6b + c \(\le63\)

=> 40a \(\le63\)

=> a \(\le1\)

=> a = 1

Mà \(\overline{ab}\) là số chính phương

=>  \(\overline{ab}\)  = 16

=> b = 6

=> c = 4

Vậy số cần tìm là 164