Do tâm nằm trên đường thẳng ∆: x + 2y – 5 = 0 nên tâm I(5 – 2y; y). Mà đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng d 1 :   3 x − y + 5 = 0   v à   d 2 :   x + 3 y − 13 = 0  nên có bán kính  R = d I ; d 1 = d I ;   d 2

⇒ 3 ​ ( 5 − 2 y ) − y + 5 3 2 + ​ ( − 1 ) 2 =    5 − 2 y + ​ 3 y − 13 1 2 + 3 2

⇒ 20 − 7 y 10 =    − 8 + ​ y 10 ⇔ 20 − 7 y = − 8 + ​ y ⇔ 400 − 280 y + ​ 49 y 2 = 64 − ​​ 16 y + ​ y 2 ⇔ 48 y 2    − 264 y      + 336 = 0 ⇔ y = 2 y = 7 2

Tương ứng ta có hai bán kính của (C) là  R 1 = 6 10 ,   R 2 = 9 2 10

Đáp án là D.

Đường tròn (C) tiếp xúc với d₁ và d₂ , suy ra tâm của nó nằm trên đường phân giác của góc (d₁;d₂)

Khoảng cách từ một điểm bất kì trên phân giác của góc đến hai cạnh của góc thì bằng nhau, ta có:

\(\frac{\left|3x-4y+1\right|}{5}=\frac{\left|6x+8y-1\right|}{10}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2\left(3x-4y+1\right)=6x+8y-1\\2\left(3x-4y+1\right)=-6x-8y+1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}16y-3=0\\12x+1=0\end{cases}}\)

Xét hệ \(\hept{\begin{cases}3x+y-1=0\\16y-3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{13}{48}\\y=\frac{3}{16}\end{cases}}\Rightarrow I_1\left(\frac{13}{48};\frac{3}{16}\right)\Rightarrow R_1=\frac{17}{80}\)

\(\Rightarrow\left(C_1\right):\left(x-\frac{13}{48}\right)^2+\left(y-\frac{3}{16}\right)^2=\frac{289}{6400}\)

Xét hệ: \(\hept{\begin{cases}3x+y-1=0\\12x+1=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{12}\\y=\frac{5}{4}\end{cases}}}\Rightarrow I_2\left(-\frac{1}{12};\frac{5}{4}\right)\Rightarrow R_2=\frac{17}{20}\)

\(\Rightarrow\left(C_2\right):\left(x+\frac{1}{12}\right)^2+\left(y-\frac{5}{4}\right)^2=\frac{289}{400}\).

Đường tròn (C) tiếp xúc với d₁ và d₂ , suy ra tâm của nó nằm trên đường phân giác của góc (d₁;d₂)

Khoảng cách từ một điểm bất kì trên phân giác của góc đến hai cạnh của góc thì bằng nhau, ta có:

|3x−4y+1|5 =|6x+8y−1|10 ⇔[

⇔[

Xét hệ {

⇔{

⇒I1(1348 ;316 )⇒R1=1780 

⇒(C1):(x−1348 )2+(y−316 )2=2896400 

Xét hệ: {

⇔{

⇒I2(−112 ;54 )⇒R2=1720 

⇒(C2):(x+112 )2+(y−54 )2=289400 .

Giả sử đường tròn cần lập có tâm O; bán kính R.

Đường thẳng Δ đi qua M(2; -2) và có VTPT là n→(4; 3) nên đường thẳng này có 1 VTCP là u→(3; -4) . Phương trình tham số của đường thẳng Δ là:

O nằm trên Δ ⇒ O(2 + 3t; -2 – 4t)

Đường tròn (O; R) tiếp xúc với d1 và d2 ⇒ d(O; d1) = d(O; d2) = R

Ta có: d(O; d1) = d(O; d2)

+ Với t = 0 ⇒ O(2; -2) ⇒ R = d(O; d1) = 2√2

Phương trình đường tròn: (x – 2)2 + (y + 2)2 = 8.

+ Với t = -2 ⇒ O(-4; 6) , R = d(O; d1) = 3√2

Phương trình đường tròn: (x + 4)2 + (y – 6)2 = 18

Vậy có hai phương trình đường tròn thỏa mãn là:

(x – 2)2 + (y + 2)2 = 8 hoặc (x + 4)2 + (y – 6)2 = 18