Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB<AC )
3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.
a) CM \(\Delta AHF\infty\Delta ABD\)
b) CM AE.AC = AF.AB
c) Cho \(\widehat{A}=60^o\)và diện tích tam giác ABC là 80 cm2 . Tính diện tích tứ giác BCEF
Cho \(\Delta ABC\) nhọn, các đường cao \(AD,BE,CF\) cắt nhau tại \(H\)
a) \(Cm:\Delta AEB\) và \(\Delta AFC\) đồng dạng và \(AF.AB=AE.AC\)
b) \(Cm\): góc \(BAD\)\(=\) góc\(BEF\)
c) Gọi \(AI\) là tia phân giác của góc \(BAC\), tia \(AI\) cắt \(FE\) tại \(O\)
\(Cm:IB.OF=IC.OE\)
a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuôg tại F có
góc BAE chung
=>ΔAEB đồng dạng với ΔAFC
=>AE/AF=AB/AC
=>AE*AC=AB*AF
b: Xét tứ giác AFHE có
góc AFH+góc AEH=180 độ
=>AFHE nội tiếp
=>góc FAH=góc FEH
=>goc BAD=góc BEF
cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC), ba đường caoAD,BE,CF cắt nhau tại H.
a, CM: tg AHF đồng dạng với tg ABD
b, CM: AE.AC=AF.AB
c,CM: góc ABE= góc ACF
d, cho góc BAC=60 độ, diện tích tg ABC bằng 1. Tính diện tích tứ giác BCEF
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H
a) CM : \(\Delta\)AEB và \(\Delta AFC\) đồng dạng và AF.AB = AE.AC
b) CM : góc BAD = góc BEF
c) Gọi AI là tia phân giác của góc BAC, tia AI cắt FE tại O. CM : IB.OF = IC.OE
a) Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
\(\widehat{FAC}\) chung
Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC(g-g)
Suy ra: \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(AB\cdot AF=AC\cdot AE\)(đpcm)
b)Sửa đề: \(\widehat{BAD}=\widehat{BED}\)
Xét tứ giác BDEA có
\(\widehat{BEA}=\widehat{BDA}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{BEA}\) và \(\widehat{BDA}\) là hai góc cùng nhìn cạnh BA
Do đó: BDEA là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
hay \(\widehat{BAD}=\widehat{BED}\)(hai góc cùng nhìn cạnh BD)
a, Xét tam giác AEB và tam giác AFC ta có :
^AEB = ^AFC = 900
^A chung
Vậy tam giác AEB ~ tam giác AFC (g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\Rightarrow AE.AC=AF.AB\)
Bài 1.CHo tam giác nhọn ABC có các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H
1. Chứng minh tam giác ABE và tam giác ACF đồng dạng
Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACF\) :
\(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}\) (\(=90^o\) )
\(\widehat{A}\) chung
\(\Rightarrow\Delta ABE\sim\Delta ACF\left(g.g\right)\)
2.Chứng minh \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)
Vì tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF ( cmt )
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AF}{AE}\)
Xét tam giác AEF và tam giác ABC:
\(\widehat{A}\) chung
\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AF}{AE}\) (cmt )
\(\Rightarrow\Delta AEF\sim\Delta ABC\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\) ( hai góc t/ứ)
3.Vẽ DM vuông gosc với AC tại M . Gọi K là giao điểm của CH và DM . Chứng minh \(\dfrac{BH}{EH}=\dfrac{DK}{MK}\) và \(AH.AD+CH.CF=\dfrac{CD^4}{CM^2}\)
Bài 2 : Cho ba số \(x,y,z\) khác 0 và \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\) . Tính giá trị của biểu thức \(P=\dfrac{2017}{3}xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)\)
\(BE||DM\) (cùng vuông góc AC)
Theo định lý Talet: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{MK}{EH}=\dfrac{CK}{CH}\\\dfrac{DK}{BH}=\dfrac{CK}{CH}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{MK}{EH}=\dfrac{DK}{BH}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BH}{EH}=\dfrac{DK}{MK}\)
Hai tam giác vuông AHE và ACD đồng dạng (chung góc A) \(\Rightarrow\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AE}{AD}\Rightarrow AH.AD=AC.AE\)
Tương tự CHE đồng dạng CAF \(\Rightarrow\dfrac{CH}{AC}=\dfrac{CE}{CF}\Rightarrow CH.CF=AC.CE\)
\(\Rightarrow AH.AD+CH.CF=AC.AE+AC.CE=AC\left(AE+CE\right)=AC^2\) (1)
Lại có 2 tam giác vuông ACD và DCM đồng dạng (chung góc C)
\(\Rightarrow\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{CD}{CM}\Rightarrow AC=\dfrac{CD^2}{CM}\Rightarrow AC^2=\dfrac{CD^4}{CM^2}\) (2)
(1); (2) suy ra đpcm
2.
\(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{3}{xy}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)-\dfrac{3}{xy}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{1}{z^3}\)
\(=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^3-\dfrac{3}{xy}\left(-\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{z^3}\)
\(=\left(-\dfrac{1}{z}\right)^3+\dfrac{3}{xyz}+\dfrac{1}{z^3}\)
\(=-\dfrac{1}{z^3}+\dfrac{3}{xyz}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{3}{xyz}\)
Do đó:
\(P=\dfrac{2017}{3}xyz.\dfrac{3}{xyz}=2017\)
cho tam giác nhọn ABCcó 3 đường cao AD,BE,CF
a, chứng minh\(\Delta\) ABE\(\sim\)\(\Delta\) ACF
b, chứng minh tam giác AF*AC=AF*AB
c, chứng minh \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)
cho tam giác ABC nhọn, đường cao BE,CF cắt nhau tại H. CM:
a)AE.AC=AF.AB
b)\(\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\)
c)gọi giao của AH với BC là D, ED với FC là I. CM:
HI.CF=HF.CI
b) Xét tam giác AEF và tam giác ABC :
Góc BAC chung
\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
⇒ Tam giác AEF ~ tam giác ABC
⇒ góc AEF = góc ABC ( đề sai nhé )
a) Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta AFC\) có :\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90^0\\\widehat{BAC}\text{ là góc }chung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AEB\sim\Delta AFC\left(g.g\right)\\ \Rightarrow\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\left(Các\text{ }cặp\text{ }cạnh\text{ }tương\text{ }ứng\text{ }tỉ\text{ }lệ\right)\\ \Rightarrow AE\cdot AC=AF\cdot AB\)
b) Ta có : \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\left(Chứng\text{ }minh\text{ }ý\text{ }a\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\\ \Rightarrow EF//BC\left(Định\text{ }lí\text{ }Ta-lét\text{ }đảo\right)\\ \Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\left(\text{ 2 góc đồng vị }\right)\)
c) \(AH\) là cái gì???
Bài 5. Cho \(\Delta ABC\)có 3 góc nhọn, hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. AH cắt BC tại D.
a) cm: \(AH\perp BC\)
b) cm: AE.AC = AF.AB
c) cm: \(\Delta AEF,\Delta ABC\)đồng dạng với nhau.
d) cm: \(\Delta AEF\)đồng dạng với \(\Delta CED\)từ đó suy ra: tia EH là phân giác của \(\widehat{FED}\)
Bài 4. CM rằng: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R), AD là đường cao của \(\Delta ABC\) và AM là đường kính của đường tròn tâm O, gọi E là hình chiếu của B trên AM.
a) CM: \(\widehat{ACM}=90^o\) và \(\widehat{BAD}=\widehat{MAC}\)
b) CM: Tứ giác ABDE nội tiếp
c) CM: DE//BC
a: góc ACM=1/2*sđ cung AM=90 độ
góc BAD+góc ABD=90 độ
góc MAC+góc AMC=90 độ
mà góc ABD=góc AMC
nên góc BAD=góc MAC
b: góc AEB=góc ADB=90 độ
=>AEDB nội tiếp
