\(P\ge\frac{x+y+z}{2}=\frac{\sqrt{\left(x+y+z\right)^2}}{2}\ge\frac{\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(A=2\left(x^2+y^2\right)+\left(8y^2+\dfrac{1}{2}z^2\right)+\left(8x^2+\dfrac{1}{2}z^2\right)\ge2.2\sqrt{x^2y^2}+2\sqrt{8x^2.\dfrac{1}{2}z^2}+2.\sqrt{8x^2.\dfrac{1}{2}z^2}=4\left(xy+yz+zx\right)=4\)

\(A_{min}=4\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)

\(\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}}{\sqrt{x+y+z}}\)

Đặng Viết Thái tử đúng rồi còn mẫu không có căn

\(x = { \sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1} + \sqrt{z^2+1} \over x + y+z}\)

Cho xin cái k đúng cái

Xét:

\(P-\left(\sqrt{3}-1\right)=\frac{1}{4}\left[2x-\left(\sqrt{3}-1\right)\left(y+z\right)\right]^2+\frac{\sqrt{3}}{2}\left(y-z\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{3}-1\)

Còn về dấu "=" xảy ra thì bạn có thể tự làm nhé :D

Mình ghi thiếu \(xy+2yz+zx\) ở dưới mẫu nhé.