bạn ơi đề khó nhìn vậy  

\(\left(1+x\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{1+x\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}+x}=1\)

\(\Rightarrow1+x\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2+1}+x\)

\(\Rightarrow1+x\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+1}-x=0\)

\(\Rightarrow-\left(x-1\right)+\left(x-1\right)\sqrt{x^2+1}=0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\\sqrt{x^2+1}-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\\sqrt{x^2+1}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2+1=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=0\end{matrix}\right.\)

\(a,2y^2-x+2xy=y+4\\ \Leftrightarrow2y\left(x+y\right)-\left(x+y\right)=4\\ \Leftrightarrow\left(2y-1\right)\left(x+y\right)=4=4\cdot1=\left(-4\right)\left(-1\right)=\left(-2\right)\left(-2\right)=2\cdot2\)

Vì \(x,y\in Z\Leftrightarrow2y-1\) lẻ 

\(\left\{{}\begin{matrix}2y-1=1\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y-1=-1\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=0\end{matrix}\right.\)

Vậy PT có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left\{\left(3;1\right);\left(4;0\right)\right\}\)

\(VD3,\sqrt{x+\sqrt{x}}=y\left(x\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y\ge0\\x+\sqrt{x}=y^2\end{cases}}\)

Dễ thấy x phải là số chính phương

Đặt \(x=a^2\left(a\in N\right)\)

\(\Rightarrow a^2+a=y^2\)

\(\Leftrightarrow a\left(a+1\right)=y^2\)

Vì VP là số chính phương nên \(a\left(a+1\right)\)là số chính phương

Mà a và a + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp và a < a + 1

Nên a = 0 (tích 2 số nguyên liên tiếp là 1 scp thì phải có 1 số bằng 0 mà a < a + 1 nên a = 0)

Khi đó x = 0 ; y = 0

Vậy pt có nghiệm nguyên (x;y)=(0;0)

VD1

<=> \(\left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{4}{5}\right)^x=1\)

+ \(x=0;1\)không thỏa mãn

+  \(x=2\)=> \(\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2=1\)đúng

+  \(x>2\)

=> \(\left(\frac{3}{5}\right)^x< \left(\frac{3}{5}\right)^2,\left(\frac{4}{5}\right)^x< \left(\frac{4}{5}\right)^2\)

=> \(VT< 1\)(loại)

Vậy x=2

VD2 

Giả sử \(x\ge y\ge z\)do vai trò của x,y,z như nhau

=> \(2^x\ge2^y\ge2^z\)

=> \(512\le3.2^x\)

=> \(x\ge8\)

Mà \(x< 9\)do \(2^x< 512\)

=> \(x=8\)

Khi đó \(2^y+2^z=256\)

Tưởng tự \(2.2^y\ge256\)=> \(y\ge7\)

Mà \(y< 8\)do \(2^y< 256\)

=> y=7 

=> z=7

Vậy \(\left(x,y,z\right)=\left(8,7,7\right)\)và các hoán vị 

1) Vì vai trò của x;y;z;t như nhau nên giả sử x≤y≤z≤tx≤y≤z≤t 

Suy ra x+y+z+t≤4tx+y+z+t≤4t 

↔xyzt≤4t↔xyz≤4↔xyzt≤4t↔xyz≤4 

Do x;y;z;t nguyên dương nên 0<xyz≤4→xyz=1;2;3;40<xyz≤4→xyz=1;2;3;4 

Xét 4 trường hợp sau: 

• TH1TH1 : xyz=1xyz=1 

→x=y=z=1→x=y=z=1 

Thay vào (1) có : 3+t=t3+t=t (vô lí) 

TH1TH1 không xảy ra: loại 

• TH2:xyz=2TH2:xyz=2 

Do x≤y≤z→x=y=1;z=2x≤y≤z→x=y=1;z=2 

Thay vào (1) có : 4+t=2t→t=44+t=2t→t=4 (thỏa mãn) 

(x;y;z;t) = (1;1;2;4) 

• TH3:xyz=3TH3:xyz=3 

→x=y=1;z=3→x=y=1;z=3 

Thay vào (1) có : 5+t=3t→2t=55+t=3t→2t=5 (vô lí vì 5 k chia hết cho 2) 

TH3TH3 k xảy ra : loại 

• TH4TH4 : xyz = 4 

+) x = 1; y = z = 2 

→5+t=4t→5=3t→→5+t=4t→5=3t→ t không là số nguyên

+) x=y=1;z=4x=y=1;z=4 

Thay vào (1) tìm được t = 2 (không thỏa mãn do z≤tz≤t(gt) mà z = 4 > 2 = t) 

TH4TH4 không xảy ra: loại 

Vậy (x;y;z;t) = (1;1;2;4) và các hoán vị

2)xyz = 9 + x + y + z 
<=> 1 = 1/yz + 1/xz + 1/xy + 9/xyz 
giả sử: x ≥ y ≥ z ≥ 1, ta có: 
1 = 1/yz + 1/xz + 1/xy + 9/xyz ≤ 1/z^2 + 1/z^2 + 1/z^2 + 9/z^2 = 12/z^2 
=> z^2 ≤ 12 => z = 1, 2 , 3 
*z = 1: 
1=1/y + 1/x + 1/xy ≤ 1/y + 1/y + 1/y = 3/y 
=> y ≤ 3 => y = 1,2,3 
y =1 => x= 11 + x (vô nghiệm) 
y = 2 => 2x = 12 + x => x = 12 trường hợp nầy nghiệm (12,2,1) 
y = 3 => 3x = 13 + x ( không có ngiệm x nguyên) 

* z = 2 
1 = 1/2y + 1/2x + 1/xy + 1/2xy = 1/2y + 1/2x + 3/2xy ≤ 1/2(1/y + 1/y + 3/y) = .5/2y 
=> y ≤ 5/2 => y = 2 
=> 4x = 13 + x (không có nghiệm x nguyên) 

* z =3: 
1 = 1/3y + 1/3x + 1/xy + 3/xy = 1/3y + 1/3x + 4/xy ≤ 1/3(1/y +1/y + 12/y) = 14/3y 
=> y ≤ 14/3 => y = 3, 4 
y = 3 => 9x = 15 + x (không có nghiệm x nguyên) 
y = 4 => 12x = 16 + x (không có nghiệm x nguyên) 

Vậy pt có nghiệm là (12,2,1) và các hoán vị của nó.

5)

 Chuyen sang ve trai cac hang tu chua x,y,z:
(x^2 - xy + y^2/4) + 3(y^2/4 - 2.y/2 + 1) + (z^2-2z+1) -3-1 <= -4
<=> (x-y/2)^2 + 3.(y/2 -1)^2 + (z-1)^2 <= 0
Binh phuong cua 1 so thi ko the am nen suy ra fai xay ra dong thoi:
x-y/2 =0 ; y/2 -1 =0 vaf z-1 =0
giai ra duoc x= 1; y=2; z=1 thoa man