Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
nguyễn tùng sơn
Xem chi tiết
Trang
Xem chi tiết
Yeutoanhoc
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
27 tháng 8 2021 lúc 16:54

a. Đề bài sai (thực chất là nó đúng 1 cách hiển nhiên nhưng "dạng" thế này nó sai sai vì ko ai cho kiểu này cả)

Ta có: \(abc=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\ge27\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+5abc\ge a^2+b^2+c^2+5.27>>>>>8\)

b. 

\(4=ab+bc+ca+abc=ab+bc+ca+\sqrt{ab.bc.ca}\le ab+bc+ca+\sqrt{\left(\dfrac{ab+bc+ca}{3}\right)^3}\)

\(\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}=t\Rightarrow t^3+3t^2-4\ge0\Rightarrow\left(t-1\right)\left(t+2\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow t\ge1\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge3\)

- TH1: nếu \(a+b+c\ge4\)

Ta có: \(ab+bc+ca=4-abc\le4\)

\(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)+5abc\ge4^2-2.4+0=8\)

(Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;2;0\right)\) và các hoán vị)

- TH2: nếu \(3\le a+b+c< 4\)

Đặt \(a+b+c=p\ge3;ab+bc+ca=q;abc=r\)

\(P=p^2-2q+5r=p^2-2q+5\left(4-q\right)=p^2-7q+20\)

Áp dụng BĐT Schur:

\(4=q+r\ge q+\dfrac{p\left(4q-p^2\right)}{9}\Leftrightarrow q\le\dfrac{p^3+36}{4p+9}\)

\(\Rightarrow P\ge p^2-\dfrac{7\left(p^3+36\right)}{4p+9}+20=\dfrac{3\left(4-p\right)\left(p-3\right)\left(p+4\right)}{4p+9}+8\ge8\)

(Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\))

trinh thi minh phuong
Xem chi tiết
Trần Anh Tú
Xem chi tiết
Trịnh Quỳnh Nhi
27 tháng 11 2017 lúc 21:57

Ta có \(\frac{bc}{a^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{ac}{b^2}=\frac{\left(bc\right)^3+\left(ab\right)^3+\left(ac\right)^3}{\left(abc\right)^2}\)

Ta lại có (a+b+c)2=a2+b2+c2

=>a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)= a2+b2+c2

=> 2(ab+bc+ac)=0=> ab+bc+ac=0

Ta cần chứng minh bài toán phụ x+y+z=0 thì

x3+y3+z3=3xyz

Ta thấy x+y+z=0=> x+y=-z

=> (x+y)3=-z3 => x3+3xy(x+y)+y3=-z3

=> x3+y3+z3=-3xy(x+y)=-3xy.(-z)=3xyz

Áp dụng vào bài toán ta có 

ab+bc+ac=0 => (ab)3+(bc)3+(ac)3=3(abc)2

=> \(\frac{bc}{a^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{ac}{b^2}=\frac{3\left(abc\right)^2}{\left(abc\right)^2}=3\)

=> đpcm

Nguyễn Lê Trung Hiếu
Xem chi tiết
Đinh Nguyễn Ngọc Linh
Xem chi tiết
Phạm Ngọc Trà Thanh
Xem chi tiết
Linh Lê Nguyễn Thảo
Xem chi tiết