ÁP DỤNG BĐT COSI TA CÓ :\(\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}\le\frac{a}{b+c+2a}+\frac{1}{4}\)

                                            \(\sqrt[]{\frac{b}{a+c+2b}}\le\frac{b}{a+c+2b}+\frac{1}{4}\)

                                            \(\sqrt[]{\frac{c}{a+b+2c}}\le\frac{c}{a+b+2c}+\frac{1}{4}\)

ĐẶT A=\(\sqrt[]{\frac{a}{b+c+2a}}+\sqrt[]{\frac{b}{a+c+2b}}+\sqrt[]{\frac{c}{a+b+2c}}\)

            \(\le\frac{a}{b+c+2a}+\frac{b}{a+c+2b}+\frac{c}{a+b+2c}+\frac{3}{4}\)

        ÁP DỤNG BĐT :\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

          \(\Rightarrow\frac{a}{b+c+2a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)

          \(\Rightarrow\frac{b}{a+c+2b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right)\)

           \(\Rightarrow\frac{c}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{c}{a+c}+\frac{c}{c+b}\right)\)

  \(\Rightarrow A\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}\right)+\frac{3}{4}\)

 \(\Rightarrow A\le\frac{1}{4}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)+\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow A\le\frac{1}{4}\left(1+1+1\right)+\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow A\le\frac{3}{2}\)

DẤU = XẢY RA\(\Leftrightarrow a=b=c\)

Một lời giải khác: 

\(\left(\Sigma\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}\right)^2=\left(\Sigma\sqrt{\frac{a\left(a+2c+b\right)}{\left(a+2c+b\right)\left(b+c+2a\right)}}\right)^2\)

\(\le\left[\Sigma a\left(a+2c+b\right)\right]\left[\Sigma\frac{1}{\left(a+2c+b\right)\left(b+c+2a\right)}\right]=\Sigma\frac{a^2+3ab}{\left(a+2c+b\right)\left(b+c+2a\right)}\)

\(=\frac{4\left(\Sigma a^2+3\Sigma ab\right)\left(\Sigma a\right)}{\Pi\left(a+2c+b\right)}\)

Cần chứng minh \(\frac{4\left(\Sigma a^2+3\Sigma ab\right)\left(\Sigma a\right)}{\Pi\left(a+2c+b\right)}\le\frac{9}{4}\)

Chịu khó quy đồng :V

Tính ra a+b+c<=4 nhé (dùng Bu-nhi-a cop-xki)

Phần còn lại tự xử nhé)

là sao zay ah???

:( Đại Ka ơi a up câu nào khó hơn đi :( :v

Solution:

Vế trái có tính thuần nhất theo 3 biến nên ta chuẩn hóa a+b+c=3.

Điểm rơi: a=b=c=1.

Khi đó:

\(A=Sigma\frac{\left(3+a\right)^2}{2a^2+\left(3-a\right)^2}\)(em ko biết kí hiệu tổng sigma ạ :v)

\(3A\Rightarrow Sigma\frac{\left(3+a\right)^2}{a^2-2a+3}\)

UCT :v 

Ta cần tìm m và n sao cho

\(\frac{\left(3+a\right)^2}{a^2-2a+3}\le ma+n\) (Luôn đúng với 0<a<3)

Với điểm rơi a=1 ta có m+n=8 => n=8-m.

Ta tìm m sao cho: \(\frac{\left(3+a\right)^2}{a^2-2a+3}\le m\left(a-1\right)+8\) (luôn đúng với 0<a<3).

Đến đây giải ra ta tìm được m=4 và n=4

Ta dễ dàng cm được: \(\frac{\left(3+a\right)^2}{a^2-2a+3}\le4\left(a+1\right)\)(với o<a<3) ( cái này chứng minh tương đg) :v

Suy ra \(3A=Sigma\frac{\left(3+a\right)^2}{a^2-2a+3}\le4\left(a+b+c\right)=24\)

=> a<=8

Max A=8 <=> a=b=c=1 

UCT => ez nha anh :) 

Dạo này đại ka lại có hứng up bđt luôn :3 phê

M hơi ghê rồi đó con :v sang fb t sent bài cho :( 

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(P=\frac{1}{\left(a+2\right)+\left(a+2\right)+\left(b+2\right)}+\frac{1}{\left(b+2\right)+\left(b+2\right)+\left(c+2\right)}+\frac{1}{\left(c+2\right)+\left(c+2\right)+\left(a+2\right)}\)

\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{2}{a+2}+\frac{1}{b+2}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{2}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{2}{c+2}+\frac{1}{a+2}\right)\)

\(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)\)

Dễ dàng cm BĐT \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\)

\(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+\frac{a}{2}}+\frac{1}{1+\frac{b}{2}}+\frac{1}{1+\frac{c}{2}}\right)\)

\(\le\frac{1}{2}.\frac{3}{1+\sqrt[3]{\frac{abc}{8}}}=\frac{3}{4}\Rightarrow P\le\frac{1}{4}\)

Xảy ra khi \(a=b=c=2\)

À viết ngược dấu BĐT phụ r` :v

\(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\le\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\) mới đúng nhé :v

\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)}\le0\) 

xy >/ 1 ? 

Sử dụng AM-GM:

\(\Sigma\frac{\sqrt{ab}}{a+b+2c}=\Sigma\frac{\sqrt{ab}}{a+c+b+c}\le\frac{1}{2}\Sigma\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{4}\Sigma\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)=\frac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c

     max cua A la \(\frac{18}{4}\)

dau = xay ra khi a=b=c