(Bạn tự vẽ hình giùm)

a/ \(\Delta AMB\)và \(\Delta ANC\)có: AB = AC (\(\Delta ABC\)cân tại A)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)(\(\Delta ABC\)cân tại A)

MB = NC (gt)

=> \(\Delta AMB\)= \(\Delta ANC\)(c - g - c) => AM = AN (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

\(\Delta AHB\)và \(\Delta AHC\)có: AB = AC (\(\Delta ABC\)cân tại A)

BH = HC (H là trung điểm của BC)

Cạnh AH chung

=> \(\Delta AHB\)= \(\Delta AHC\)(c - c - c) => \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\)(hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}\)= 180^o (kề bù)

=> \(2\widehat{AHB}=180^o\)

=> \(\widehat{AHB}=90^o\)

=> \(AH\perp BC\)(đpcm)

b/ \(\Delta AHM\)vuông và \(\Delta AHN\)vuông có: AM = AN (cm câu a)

Cạnh AH chung

=> \(\Delta AHM\)vuông = \(\Delta AHN\)vuông (cạnh huyền - cạnh góc vuông) => HM = HN (hai cạnh tương ứng) => H là trung điểm MN

Ta có HB = HC = \(\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}\)= 3 (cm)

và \(\Delta AHB\)vuông tại H => AH² + HB² = AB² (định lý Pitago)

=> AH² = AB² - HB²

=> AH² = 5² - 3²

=> AH² = 25 - 9

=> AH² = 16

=> AH = \(\sqrt{16}\)(vì AH > 0)

=> AH = 4 (cm)

Ta lại có BM = MN = NC (gt)

Mà BM + MN + NC = BC

=> 3BM = 6

=> BM = MN = NC = 2

=> HM = HN = 1

và \(\Delta AHM\)vuông tại H => AM² = AH² + MH² (định lý Pitago)

=> AM² = 4² + 1²

=> AM² = 16 + 1

=> AM² = 17

=> AM = \(\sqrt{17}\)(cm) (vì AM > 0)

Hình bạn tự vẽ nha!

a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(gt\right)\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\end{matrix}\right.\) (tính chất tam giác cân)

Xét 2 \(\Delta\) \(ABM\) và \(ACN\) có:

\(AB=AC\left(cmt\right)\)

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(cmt\right)\)

\(BM=CN\left(gt\right)\)

=> \(\Delta ABM=\Delta ACN\left(c-g-c\right)\)

=> \(AM=AN\) (2 cạnh tương ứng)

Vì H là trung điểm của \(BC.\)

=> \(BH=CH.\)

Xét 2 \(\Delta\) \(ABH\) và \(ACH\) có:

\(AB=AC\left(cmt\right)\)

\(BH=CH\left(cmt\right)\)

Cạnh AH chung

=> \(\Delta ABH=\Delta ACH\left(c-c-c\right)\)

=> \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\) (2 góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\) (vì 2 góc kề bù)

=> \(2.\widehat{AHB}=180^0\)

=> \(\widehat{AHB}=180^0:2\)

=> \(\widehat{AHB}=90^0.\)

=> \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^0\)

=> \(AH\perp BC.\)

b) Xét 2 \(\Delta\) vuông \(AMH\) và \(ANH\) có:

\(\widehat{AHM}=\widehat{AHN}=90^0\)

\(AM=AN\left(cmt\right)\)

Cạnh AH chung

=> \(\Delta AMH=\Delta ANH\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

=> \(MH=NH\) (2 cạnh tương ứng)

=> \(H\) là trung điểm của \(MN.\)

Ta có: \(HB=HC=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại H có:

\(AH^2+HB^2=AB^2\) (định lí Py - ta - go)

=> \(AH^2+3^2=5^2\)

=> \(AH^2=25-9\)

=> \(AH^2=16\)

=> \(AH=4cm\) (vì \(AH>0\))

Lại có: \(BM=MN=NC\left(gt\right)\)

Mà \(BM+MN+NC=BC\)

=> \(3.BM=6\)

=> \(BM=6:3\)

=> \(BM=2.\)

=> \(BM=MN=NC=2\left(cm\right)\)

=> \(HM=HN=1\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta AMH\) vuông tại H có:

\(AM^2=AH^2+MH^2\) (như ở trên)

=> \(AM^2=4^2+1^2\)

=> \(AM^2=16+1\)

=> \(AM^2=17.\)

=> \(AM=\sqrt{17}cm\) (vì \(AM>0\))

Còn câu c) thì bạn tham khảo tại đây nhé: Câu hỏi của Phạm Tố Uyên.

Chúc bạn học tốt!