Nối H với I

+) Xét tam giác KHC có: I; P là trung điểm KC; HK => IP là đường trung bình của tam giác 

=> IP // HC mà AH | HC nên IP | AH => IP là đường cao của tam giác AHI

+) Xét tam giác AHI có:  HK; IP là 2 đường cao của tam giác ; HK cắt IP tại P

=> P là trực tâm của tam giác => AP là đường cao thứ ba => AP | HI  (1)

+) Xét tam giác BCK có: I; H là trung điểm của KC; BC => IH là đường trung bình của tam giác 

=> IH // BK  (2)

(1)(2) => AP | BK 

Khó thế, mình mới lớp 5 thôi

Từ I kẻ tia IP cắt AH tại Q

Xét tam  giác HKC taco:

P là trung điểm của HK(gt)

I là trung điểm của KC(gt)

\(\rightarrow\) IP là đường trung bình của tam giác HKC

\(\rightarrow\) tia IP song song với HC

Mà HC vuông góc với AH nên IQ vuông góc với AH

Xét tam giác CKB ta có

I là trung điểm của HC(gt)

H là trung điểm của BC( Vì AH là đường cao cuả tam giác cân ABC )

\(\rightarrow\) IH là đường trung bình của tam giác BCK

\(\rightarrow\) IH song song với BK(tính chất đường trung bình trong tam giác)

Xét tam giác AHI ta có

Đường cao IQ cắt đường cao HK tại P nên P là trực tâm của tam giác AHI

Mà tia AP đi qua P cắt HI tại 1 điểm gọi là D nên AD là đường cao thứ 3 của tam giác AHI

\(\rightarrow\) AD vuông góc với HI

mà HI song song với BK(CMT) nên AD  vuông góc với BK hay AP vuông góc với BK (ĐPCM)

Hình tự vẽ :(
Gọi \(Q\) là giao điểm của \(HK\) và \(MN\)
\(\Rightarrow KQ\) là đường trung tuyến của \(\Delta MNK\Rightarrow QM=QN\)
Xét \(\Delta MNI\) và \(\Delta KNM\) \(\left(\widehat{M}=\widehat{K}=90^o\right)\)
ta có: \(\widehat{N}\) là góc chung
\(\Rightarrow\Delta MNI\sim\Delta KNM\) \(\left(g-g\right)\)
mà \(\Delta KNM\) là tam giác vuông cân tại \(\widehat{K}\) \(\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta MNI\) là tam giác vuông cân tại \(\widehat{M}\)
\(\Rightarrow MN=MI\) \(\Rightarrow MI=5\)
mà \(MK\) là đường cao của \(\Delta MNI\) 
\(\Rightarrow MK\) cũng là trung tuyến của \(\Delta MNI\)
\(\Rightarrow KN=KI\)
Xét \(\Delta MNI\) ta có:
\(QN=QM\) \(\left(cmt\right)\)
\(KN=KI\) \(\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow QK\) là đường trung bình của \(\Delta MNI\)
\(\Rightarrow QK=\dfrac{MI}{2}=\dfrac{5}{2}\)
Xét \(\Delta MNP\) ta có:
\(QN=QM\) \(\left(cmt\right)\)
\(HN=HP\) (\(H\) là trung điểm của \(NP\))
\(\Rightarrow QH\) là đường trung bình của \(\Delta MNP\)
\(\Rightarrow QH=\dfrac{MP}{2}=\dfrac{13}{2}\)
Ta có \(QH=QK+HK\)
\(\Rightarrow HK=QH-QK=\dfrac{13}{2}-\dfrac{5}{2}=4\)
Vậy \(HK=4\)