a: \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot8\cdot4=16\left(cm^2\right)\)

b: Xét tứ giác AHBE có

M là trung điểm chung của AB và HE

góc AHB=90 độ

=>AHBE là hình chữ nhật

c: Xét tứ giác ABFC có

H là trung điểm chung của AF và BC

AB=AC

=>ABFC là hình thoi

tui chỉ làm phần d thôi nha, mấy câu trên cậu tự chứng minh nhé 

Hình tự vẽ 

Lấy M là trung điểm của CK

mà có I là tđ của HK

suy ra MI là đường trung bình tam giác HKC và MI song song với CH

mà CH lại vuông góc với HF ( tự c/m) nên MI vuông góc với HF 

Xét tam giác HFM có I là trực tâm ( tự ghi rõ ) suy ra FI vuông góc với HM mà có

M là tđ CK, H là tđ BC ( tự c/m) suy ra đường trung bình nên HM song song với BK suy ra đpcm 

tui chỉ ghi qua thui, cậu tự trình bày rõ ràng nhé 

mấy cái tự c/m ko dài đâu, đều hiện lên trên hình cậu vẽ rùi, đều có sẵn chỉ cần vài dòng thui, đừng lười, THI TỐT NHẾ

MAI TUI THI TOÁN VỚI ANH ĐÓ, THANKS VÌ ĐỀ BÀI RẤT HAY NHA.

giúp em với ạ.Em cảm ơn nhiềuu

b: Ta có: BC=BH+HC

nên BC=4+9

hay BC=13cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔBAC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=2\sqrt{13}cm\\AC=3\sqrt{13}cm\end{matrix}\right.\)

Xét ΔBAC vuông tại A có 

\(\sin\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}\)

\(\cos\widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}\)

\(\tan\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{2}\)

\(\cot\widehat{ABC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2}{3}\)

b: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔBAC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=2\sqrt{13}cm\\AC=3\sqrt{13}cm\end{matrix}\right.\)

Xét ΔBAC vuông tại A có 

\(\sin\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}\)

\(\cos\widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}\)

\(\tan\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{2}\)

\(\cot\widehat{ABC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2}{3}\)

a: Xét ΔCAB có CN/CA=CP/CB

nên NP//AB và NP=AB/2

=>NP//AM và NP=AM

=>AMPN là hình bình hành

mà góc MAN=90 độ

nên AMPN là hình chữ nhật

b: \(BC=\sqrt{9^2+12^2}=15\left(cm\right)\)

AH=9*12/15=108/15=7,2(cm)

Tam giác BDH vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên:

a, Xét tam giác AHB vuông tại H, đường cao MH 

\(AH^2=AM.AB\)( hệ thức lượng ) (1) 

Xét tam giác AHC vuông tại H, đường cao HN 

\(AH^2=AN.AC\)( hệ thức lượng ) (2) 

Từ (1) ; (2) suy ra : \(AM.AB=AN.AC\)(3) 

b, Xét tam giác AMN và tam giác ACB ta có : 

^A _ chung 

\(\left(3\right)\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

Vậy tam giác AMN ~ tam giác ACB ( c.g.c )

\(\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AC}\)(4) 

Ta có : BC = HB + HC = 9 + 4 = 13 cm 

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

* Áp dụng hệ thức : \(AC^2=HC.BC=9.13=117\Rightarrow AC=3\sqrt{13}\)cm 

Theo định lí Pytago : \(AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{169-\left(3\sqrt{13}\right)^2}=2\sqrt{13}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{2\sqrt{13}.3\sqrt{13}}{13}=6\)cm 

lại có : \(AH^2=AM.AB\)cma => \(AM=\frac{36}{2\sqrt{13}}=\frac{18\sqrt{13}}{13}\)cm 

Thay vào (4) ta được : \(\frac{MN}{13}=\frac{\frac{18\sqrt{13}}{13}}{3\sqrt{13}}=6\)cm 

c, Lại có : \(AH^2=AN.AC\)cma => \(AN=\frac{36}{3\sqrt{13}}=\frac{12\sqrt{13}}{13}\)cm 

Ta có : \(S_{AMN}=\frac{1}{2}AN.AM=\frac{1}{2}.\frac{12\sqrt{13}}{13}.\frac{18\sqrt{13}}{13}=\frac{108}{13}\)cm ²

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.2\sqrt{13}.3\sqrt{13}=39\)cm ²

Do \(S_{AMN}+S_{BMNC}=S_{ABC}\Rightarrow S_{BMNC}=S_{ABC}-S_{AMN}\)

\(=39-\frac{108}{13}=\frac{399}{13}\)cm²

a: Xét ΔABC có AM/AB=AN/AC

nên MN//BC và MN=1/2BC

=>MN=3cm

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot8\cdot6=24\left(cm^2\right)\)

b: Xét tứgiác AHBE co

M là trung điểm chung của AB và HE

góc AHB=90 độ

Do đó: AHBE là hình chữ nhật

c: Xét tứ giác ABFC có

H là trung điểm chung của AF và BC

AB=AC

Do đó: ABFC là hình thoi