a) Giả sử \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ nên suy ra : \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) ( a ; b \(\in\) N* ) ; ( a ; b ) = 1

\(\implies\) \(b\sqrt{2}=a\)

\(\implies\) \(b^2.2=a^2\)

\(\implies\) \(a\) chia hết cho \(2\) ; mà \(2\) là số nguyên tố

\(\implies\) \(a\) chia hết cho \(2\) 

\(\implies\) \(a^2\) chia hết cho \(4\)

\(\implies\) \(b^2.2\) chia hết cho \(4\)

\(\implies\) \(b^2\) chia hết cho \(2\) ; mà \(2\) là số nguyên tố

\(\implies\) \(b\) chia hết cho \(2\)

\( \implies\) \(\left(a;b\right)=2\) mâu thuẫn với \(\left(a;b\right)=1\)

\( \implies\) Điều giả sai

\( \implies\) \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ ( đpcm )

b) Giả sử \(5-\sqrt{2}\) là số hữu tỉ nên suy ra : \(5-\sqrt{2}=m\) ( m \(\in\) Q )

\( \implies\) \(\sqrt{2}=5-m\) ; mà \(5\) là số hữu tỉ ; \(m\) là số hữu tỉ nên suy ra : \(5-m\) là số hữu tỉ 

 Mà theo câu a ; \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ 

\( \implies\) Mâu thuẫn

\( \implies\) \(5-\sqrt{2}\) là số vô tỉ ( đpcm )

cậu bỏ cho tớ dòng thứ 5 với dòng ấy tớ ghi thừa

 Xin lỗi , xin lỗi lúc nãy tớ viết vội quá nên râu ông nọ cắm cằm bà kia . Bây giờ sửa lại ý a) 

a) Giả sử \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ nên suy ra : \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) ( a ; b \(\in\) N* ) ; ( a ; b ) = 1

\( \implies\) \(b\sqrt{2}=a\)

\( \implies\) \(b^2.2=a^2\)

\( \implies\) \(a^2\) chia hết cho \(2\) ; mà \(2\) là số nguyên tố 

\( \implies\) \(a\) chia hết cho \(2\)

\( \implies\) \(a^2\) chia hết cho \(4\)

\( \implies\)  \(b^2.2\) chia hết cho \(4\)

\( \implies\) \(b^2\) chia hết cho \(2\) ; mà \(2\) là số nguyên tố nên suy ra \(b\) chia hết cho \(2\)

\( \implies\) \(\left(a;b\right)=2\) mâu thuẫn với \(\left(a;b\right)=1\)

\( \implies\) Điều giả sử sai

\( \implies\) \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ ( đpcm )

cũng nhưu nhân số âm và số dương can cũng chứng minh tương tự 

vì căn 2 là số vô tỉ 

vì cắn 3 là số vô tỉ 

và căn 5 cũng là số vô tỉ nên khi cộng lại với nhau nó sẽ ra số vô tỉ 

Ta có : \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ

\(\sqrt{3}\)là số vô tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}\)là số vô tỉ ( đpcm ) 

b) tương tự :

 \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2}vôti\\\sqrt{3}vôti\\\sqrt{5}vôti\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\)vô tỉ

c) \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ nên \(1+\sqrt{2}\)là số vô tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{1+\sqrt{2}}\)là số vô tỉ

d) \(\sqrt{3}\)là số vô tỉ\(\Rightarrow\frac{\sqrt{3}}{n}\)là số vô tỉ

\(\Rightarrow m+\frac{\sqrt{3}}{n}\)là số vô tỉ

phản chứng : giả sử tất cả thuộc Q a đặt a= căn 2+ căn 3(a thuộc Q) . bình phương 2 vế ta có a^2=5+2 căn 6=> căn 6 = a^2-5/2 thuộc Q => vô lí

b đặt căn 2 + căn 3 + căn 5 = a. chuyển căn 5 sang vế a bình phương lên ta có 2 căn 6=a^2-2 căn 5 a

bình phương 1 lần nữa =>căn 5= a^4+20a^2-24/4a^3 thuộc Q => vô lí

c bình phương lên => căn 2=A-1 thuộc Q => vô lí

d tương tự căn 3=Bn-mn thuộc Q => vô lí

chúc bạn học tốt

Giả sử \(2\sqrt{2}+\sqrt{3}=x\left(x\in Q\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2=x^2\\ \Leftrightarrow11+4\sqrt{6}=x^2\\ \Leftrightarrow\sqrt{6}=\dfrac{x^2-11}{4}\)

Vì \(\sqrt{6}\) là số vô tỉ nên \(\dfrac{x^2-11}{4}\) là số vô tỉ \(\Rightarrow\) \(x^2\) là số vô tỉ, \(\Rightarrow x\) là số vô tỉ (vô lý)

Vậy \(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\) là số vô tỉ

Giả sử \(\sqrt{3}-\sqrt{2}=x\left(x\in Q\right)\)  

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2=x^2\\ \Rightarrow5-2\sqrt{6}=x^2\\ \Rightarrow\sqrt{6}=\dfrac{5-x^2}{2}\)

Vì \(\sqrt{6}\) là số vô tỉ nên \(\dfrac{5-x^2}{2}\Rightarrow\) \(x^2\)là số vô tỉ, \(\Rightarrow x\) là số vô tỉ (vô lý)

Vậy \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) là số vô tỉ

Đặt: \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\)

=> \(\frac{m^2}{n^2}=2\)

=> \(m^2=2n^2\)

=> \(m^2\) chia hết cho \(2\). Mà 2 là số nguyên tố nên => \(m\) chia hét cho 2

Đặt: \(m=2k\)

=> \(\frac{m^2}{n^2}=\frac{4k^2}{n^2}=2\)

=> \(4k^2=2n^2\)

=> \(n^2=2k^2\)

=> \(n^2\) chia hết cho 2. Mà 2 là số nguyên tố nên n chia hết cho 2.

Ta có \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}=\frac{2a}{2b}\) không tối giản nên \(\sqrt{2}\) là số vo tỉ.

Các câu sau tương tự

Mình dùng phương pháp phản chứng hơi tắt một tí.

Giả sử \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ thì sẽ có dạng \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) tối giản.

Mình chứng minh \(\frac{m}{n}\) không tối giản nên \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ

Ta có: \(\sqrt{5}\) là 1 số vô tỉ

=> \(2+\sqrt{5}\) là 1 số vô tỉ

=> \(\sqrt{2+\sqrt{5}}\) là số vô tỉ

=> đpcm

Giả sử \(\sqrt{2+\sqrt{5}}=q\left(q\inℚ\right)\)

\(\Rightarrow2+\sqrt{5}=q^2\inℚ\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{5}=q-2\inℚ\)(Vô lý vì \(\sqrt{5}\in I\))

Vậy điều giả sử là sai hay \(\sqrt{2+\sqrt{5}}\)là số vô tỉ