\(A=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left[\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\right]+\left(xy+yz+zx\right)^2\)

\(=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)+\left(xy+yz+zx\right)^2\)

\(=\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\right)^2\) là một số chính phương (đpcm)

Đặt \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+x+y}=a\) ( ĐK a > 0 )

=> A = a + 1/a 

(*)  \(\left(x+y+1\right)^2\ge3\left(xy+x+y\right)\)( Nhân 2 vế với hai sau đưa về hằng đẳng thức ) 

=> \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+x+y}\ge3\Leftrightarrow a\ge3\)

TA có \(A=a+\frac{1}{a}=\frac{a}{9}+\frac{1}{a}+\frac{8a}{9}\ge2\sqrt{\frac{a}{9}\cdot\frac{1}{a}}+\frac{8\cdot3}{9}=\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)

Vậy GTNN của A là 10/3 tại x = y= 1 

1.

a.

x(y-1)-(y-1)=0

(x-1)(y-1)=0

x=1

y=1

b.x,y khác không

(x+y)/xy=1/2

2x+2y=xy

x(2-y)-2(2-y)=4

(x-2)(y-2)=4

x-2={-4,-2,1,4}=>x={-2,0,3,6}

y-2={-1,-2,4,1}=>y={3,0,6,3}

Yêu cầu đề bài là gì vậy bạn?

\(6xy\left(xy-y^2\right)-8x^2\left(x-y^2\right)+5y^2\left(x^2+xy\right)\\ =6x^2y^2-6xy^3-8x^3+8x^2y^2+5x^2y^2+5xy^3\\ =\left(6x^2y^2+8x^2y^2+5x^2y^2\right)+\left(-6xy^3+5xy^3\right)-8x^3\\ =19x^2y^2-xy^3-8x^3\)

Với `x=1/2;y=2` ta có :

 \(19x^2y^2-xy^3-8x^3\\ =19.\left(\dfrac{1}{2}\right)^2.2^2-\dfrac{1}{2}.2^3-8.2^3\\ =19.\dfrac{1}{4}.4-\dfrac{1}{2}.8-8.8\\ =19-4-64\\ =-49\)