a) Ta có: \(n^2+4n+3=\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)

Mà n lẻ \(\Leftrightarrow n=2k+1\)( \(k\in Z\) )

\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)\left(n+3\right)=\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)\)

\(=4\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Vì \(\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên \(\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮2\)

\(\Rightarrow4\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮4\cdot2=8\)( đpcm )

b) \(n^3+3n^2-n-3\)

\(=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì n lẻ nên \(n=2p+1\) ( \(q\in Z\) )

Khi đó : \(\left(n+3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)=\left(2p+1+3\right)\left(2q+1-1\right)\left(2q+1+1\right)\)

\(=\left(2q+4\right)\cdot2q\cdot\left(2q+2\right)\)

\(=8q\left(q+1\right)\left(q+2\right)\)

Vì \(q\left(q+1\right)\left(q+2\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên \(\left\{{}\begin{matrix}q\left(q+1\right)\left(q+2\right)⋮3\\q\left(q+1\right)\left(q+2\right)⋮2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow q\left(q+1\right)\left(q+2\right)⋮3\cdot2=6\)

\(\Rightarrow8q\left(q+1\right)\left(q+2\right)⋮8\cdot6=48\)( đpcm )

\(n^3+3n^2-n-3=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\) n le => n=2k+1 \(\Rightarrow\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)=2k\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) k và k+1 là 2 stn liên tiếp =>\(k\left(k+1\right)⋮2\Rightarrow8k\left(k+1\right)⋮16\)

k;k+1;k+2 là 3 stn liên tiếp => \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮3\Rightarrow n^3+3n^2-n-3⋮3.16=48\left(\left(3,16\right)=48\right)\)

n le => n=2k+1

\(n^2+4n+3=\left(2k+1\right)\left(2k+5\right)+3=4k^2+12k+5+3=4k^2+12k+8=4k\left(k+3\right)+8.\) k và k+3 là 2 sô ko cungf chan le

\(\Rightarrow k\left(k+3\right)⋮2\Rightarrow4k\left(k+3\right)⋮8\Rightarrow4k\left(k+3\right)+8⋮8\)

(+) với n là số lẻ => n = 2k 

Thay vào ta có 

n(n+3) = 2k (2k + 3) chia hết cho 2 với mọi n 

(+) n là số lẻ => n = 2k + 1 

thay vào ta có :

n(n+3) = (2k+  1 )(2k+ 1 + 3 ) = ( 2k+  1)( 2k + 4 ) = 2 ( k  + 2 )( 2k + 1 ) luôn chia hết cho 2 với mọi n 

VẬy n(n+3) luôn luôn chia hết cho 2 

Ta có: n(n+3)=n(n+1+2)

                   =n(n+1)+2n

 Ta thấy n(n+1) là 2 số tự nhiên liên tiếp nên luôn tồn tại một số chẵn chia hết cho 2=>n(n+1) chia hết cho 2

mà 2n cũng chia hết cho 2

=> n(n+3) chia hết cho 2 với mọi n tự nhiên

Nếu n là số chẵn thì n có dạng 2k

=>n(n+3)=2k(2k+3) chia hết cho 2(đúng với n chẵn)

Nếu n là số lẻ =>n=2k+1

=>n(n+3)=(2k+1)(2k+1+3)=(2k+1)(2k+4)=2(2k+1)(2k+1) chia hết cho 2(đúng vói n lẻ)

Vậy n(n+3) chia hết cho 2 với mọi n
 

Chia 2 trường hợp là n = 2k hoặc n = 2k+1

1. a là số tự nhiên chia 5 dư 1

=> a = 5k + 1 ( k thuộc N )

b là số tự nhiên chia 5 dư 4

=> b = 5k + 4 ( k thuộc N )

Ta có ( b - a )( b + a ) = b² - a²

                                   = ( 5k + 4 )² - ( 5k + 1 )²

                                   = 25k² + 40k + 16 - ( 25k² + 10k + 1 )

                                   = 25k² + 40k + 16 - 25k² - 10k - 1

                                   = 30k + 15

                                   = 15( 2k + 1 ) chia hết cho 5 ( đpcm )

2. 2n²( n + 1 ) - 2n( n² + n - 3 )

= 2n³ + 2n² - 2n³ - 2n² + 6n

= 6n chia hết cho 6 ∀ n ∈ Z ( đpcm )

3. n( 3 - 2n ) - ( n - 1 )( 1 + 4n ) - 1

= 3n - 2n² - ( 4n² - 3n - 1 ) - 1

= 3n - 2n² - 4n² + 3n + 1 - 1

= -6n² + 6n

= -6n( n - 1 ) chia hết cho 6 ∀ n ∈ Z ( đpcm )