Chúng ta sẽ giải bài toán theo hai trường hợp như trong hình:

Trường hợp a)

Vì M nằm giữa hai điểm A và N nên AN = AM + MN

Vì N nằm giữa hai điểm B và M nên BM = BN + MN

Theo đề bài: AN = BM nên AM + MN = BN + MN ⇒ AM = BN

(áp dụng tính chất: a + b = c + b ⇒ a = c)

Trường hợp b)

Vì N nằm giữa hai điểm A và M nên AN + MN = AM ⇒ AN = AM - MN

Vì M nằm giữa hai điểm B và N nên BM + MN = BN ⇒ BM = BN - MN

Theo đề bài: AN = BM nên AN - MN = BN - MN ⇒ AM = BN

(áp dụng tính chất: a - b = c - b ⇒ a = c)

Tóm lại: trong cả hai trường hợp thì hai đoạn thẳng AM và BN có độ dài bằng nhau

a) Xét điểm M nằm giữa hai điểm A và N.Điểm N nằm giữa hai điểm B và M.

-Vì M nằm giữa A và M nên AN= AM+MN(1). 

-Vì N nằm giữa B và M nên BM= BN+MN(2),mà AN =BM nên (1) và (2) suy ra AM+MN= BN+MN.

Do đó:AM=BN.

b)Xét trường hợp điểm N nằm giữa A và M,điểm M nằm giữa B và N

-Vì N nằm giữa A nên AN+NM=AM(3).

-Vì M nằm giữa B nên BM+MN=BN(4),mà AM=BM nên từ (3) và (4) AM=BN

Trường hợp 1:  Vì M nằm giữa A và B ta có: 

AM+MB=AB => AM=AB-MB=AB-AN ( vì AN =AB )

Vậy AM=BN

Trường hợp 2:  Vì N nằm giữa A và B ta có:

  AN+NB=AB =>NB=AB-AN 

Vậy AM=BN

Trường hợp (hình a)
Ta có: Điểm M nằm giữa A và N
=> AM + MN = AN
Mà: Điểm N nằm giữa M và B
=> MN + NB = MB
Mà AN = MB
Vậy AM + MN = MN + NB
=> AM = BN

Trường hợp (hình b)
Ta có: Điểm N nằm giữa A và M
=> AN + NM = AM
Mà: Điểm M nằm giữa N và B
=> NM + MB = NB
Mà: AM = NB
=> AN + NM = NM + MB
Vậy AM = BN