\(A=5+4^2+...+4^{2021}\\ A=4^0+4^1+...+4^{2021}\\ 4A=4^1+4^2+...+4^{2022}\\ 4A-A=\left(4^1+4^2+...+4^{2022}\right)-\left(4^0+4^1+...+4^{2021}\right)\\ 3A=4^{2022}-1\\ 3A+1=4^{2022}⋮4^{2021}\)

\(B=2021\cdot1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot2022\cdot\left(1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2022}\right)⋮2021\)

B = (3^2023 - 3^2022) + (3^2021 - 3^2020) + ... + (3 - 1)
= 3^2022(3 - 1) + 3^2020(3 - 1) + ... + 1(3 - 1)
= 2(3^2022 + 3^2020 + ... + 1)
Đặt: A = 3^2023 + 3^2021 + ... + 3 B = 3^2022 + 3^2020 + ... + 1
Ta có: B = A - 3^2022 A = 3B
=> 2B = A
Mặt khác: A + B = 3^2023 + 3^2022 + 3^2021 + ... + 3 + 1 Đây là tổng của một cấp số nhân với công bội là 3.
=> A + B = (3^2024 - 1) / 2
Từ đó suy ra: B = (A + B) / 2 - A = (3^2024 - 1) / 4 - A
= (3^2024 - 1 - 4A) / 4
 

Nhóm 5 số hạng liên tiếp: Ta sẽ nhóm B thành các nhóm 5 số hạng liên tiếp. Mỗi nhóm sẽ có dạng: 3^k - 3^(k-1) + 3^(k-2) - 3^(k-3) + 3^(k-4) = 3^(k-4)(3^4 - 3^3 + 3^2 - 3 + 1) = 3^(k-4) * 61

Phân tích:

Ta thấy 61 không chia hết cho 5. Tuy nhiên, khi nhân 61 với các lũy thừa của 3, ta sẽ luôn thu được một số có chữ số tận cùng là 3. Khi trừ đi các số hạng tiếp theo (3^(k-1), 3^(k-2), ...), chữ số tận cùng của kết quả vẫn sẽ là 3 hoặc 8 (do 3 - 1 = 2, 8 - 1 = 7). Quan trọng: Không có số nào có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8 mà chia hết cho 5.

Kết luận:

Từ phân tích trên, ta thấy mỗi nhóm 5 số hạng liên tiếp khi cộng lại sẽ không chia hết cho 5. Do đó, B cũng sẽ không chia hết cho 5.

Kết luận chung:

Chúng ta đã chứng minh được B chia hết cho 2. Tuy nhiên, B lại không chia hết cho 5.

A=(1+3+3²)+(3³+3⁴+3⁵)+...+(3²⁰¹⁹+3²⁰²⁰+3²⁰²¹)                                                  A=(1+3+3²)+3³.(1+3+3²)+...+3²⁰¹⁹.(1+3+3²)

A=13+3³.13+...+3²⁰¹⁹.13

A=13.(1+3³+...+3²⁰¹⁹)chia hết cho 13

=>A  chia hết cho 13

 

Lời giải:
$A-1=4+4^2+4^3+...+4^{2020}+4^{2021}$
$4(A-1)=4^2+4^3+4^4+....+4^{2021}+4^{2022}$

$\Rightarrow 4(A-1)-(A-1)=4^{2022}-4$

$3(A-1)=4^{2022}-4$

$\Rightarrow 3A+1=4^{2022}\vdots 4^{2021}$ 

 

Lg:

Ta có :A=5+4^2+4^3+...+4^2020+4^2021

4A=20+4^3+4^4+...+4^2021+4^2022

4A-A=(20+4^3+4^4+...+4^2021+4^2022)-(5+4^2+4^3+...+4^2020+4^2021)

3A=4^2022-4^2+20-5

3A=4^2022-16+15

3A+1=4^2022-16+15+1

3A+1=4^2022-16+16

3A+1=4^2022⋮4^2021

Vậy 3A+1⋮4^2021