Giả sử 2≤b≤a<c có a(a+1)=c(c+1)−b(b+1)=(c−b)(c+b+1)      (1)

Do a+1<c+b+1 từ (1)⇒c−b<a⇒c<a+b⇒c+b+1<a+2b+1⇒c+b+1<3a+1

c>a⇒c+b+1=2a hoặc c+b+1=3a

Vì a,b,c là các số nguyên tố , c>a⇒c lẻ ta có 2 trường hợp

TH1: c+b+1=2a; Do c+1 và 2a là số chẵn thì b là số nguyên tố chẵn nên b chẵn nên b=2

  Từ đó tìm ra 3a=11 (loại)

TH2: c+b+1=3a thay vào (1) có a+1=3(c−b) mà c=3a−b−1⇒a+1=3(3a−2b−1)⇒3b=4a−2⇒b chẵn ⇒b=2⇒a=2⇒c=3

theo cong thuc  x1 x2

\(\text{Vì }\left[a,b\right],\left[b,c\right],\left[c,a\right]\text{ là BCNN}\)

\(\Rightarrow\left[a,b\right]=a.b;\left[b,c\right]=b.c;\left[c,a\right]=c.a\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left[a+b\right]}+\frac{1}{\left[b+c\right]}+\frac{1}{\left[c+a\right]}=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)

\(\text{Giả sử }a< b< c\)

\(\Rightarrow a\le2;b\le3;c\le5\)

\(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.2}=\frac{1}{3}\)

\(\text{hay }\frac{1}{\left[a+b\right]}+\frac{1}{\left[b+c\right]}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{3}\left(đpcm\right)\)

ể ==

\(2< 3\Rightarrow\frac{1}{2}>\frac{1}{3}\)

Cậu Bé Tiến Pro: e đổi dấu đi :)) 

Boul đẹp trai_tán gái đổ 100% : uh

tra gút gồ đe=))

Đề HSG Nghệ An ak bạn 

P = \(n^4-1=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)=\left(n-2\right)\left(n+2\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)+5\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

P \(⋮5\Leftrightarrow Q=\left(n-2\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮5\)

mà n không chia hết cho 5 => có dạng n = 5k + 1 ;5k + 2 ; 5k + 3 ;5k + 4 (k \(\in Z\)) 

Khi n = 5k + 1 => n - 1 \(⋮5\Rightarrow Q⋮5\Rightarrow P⋮5\)

tương tự với n = 5k + 2 ; n = 5k + 3 ; n = 5k + 4 thì Q \(⋮5\Rightarrow P⋮5\)

b. 

Điều duy nhất cần chú ý trong bài toán này: \(n^4\equiv1\left(mod5\right)\) với mọi số nguyên n ko chia hết cho 5

Do đó:

- Nếu cả 5 số a;b;c;d;e đều ko chia hết cho 5 thì vế trái chia hết cho 5, vế phải ko chia hết cho 5 (ktm)

- Nếu cả 5 số a;b;c;d;e đều chia hết cho 5 thì do chúng là số nguyên tố

\(\Rightarrow a=b=c=d=e=5\)

Thay vào thỏa mãn

- Nếu có k số (với \(1\le k\le4\)) trong các số a;b;c;d;e chia hết cho 5, thì vế phải chia hết cho 5, vế phải chia 5 dư \(5-k\ne\left\{0;5\right\}\) nên ko chia hết cho 5 \(\Rightarrow\) ktm

Vậy \(\left(a;b;c;d;e\right)=\left(5;5;5;5;5\right)\) là bộ nghiệm nguyên tố duy nhất