Ta có : 

\(\left(n+1\right)^4+n^4+1=\left(n+1\right)^4-n^2+n^4+n^2+1\)

\(=\left(n^2+2n+1\right)^2-n^2+n^4+n^2+1=\left(n^2+n+1\right)\left(n^2+3n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\left(n^2-n+1\right)\)

\(=\left(n^2+n+1\right)\left(2n^2+2n+2\right)=2\left(n^2+n+1\right)^2⋮\left(n^2+n+1\right)^2\)

Tham khảo nha !

     Từ khi sinh ra và lớn lên đến giờ em luôn được che chở dưới ngôi nhà của ba mẹ. Đó là nơi mọi người quây quần bên nhau sau một ngày làm việc mệt nhọc. Nhà em nằm trong khu dân cư rộng, với những hàng cây xanh chạy dài thoáng mát.
     Mỗi ngày đi học về em chẳng để ý gì đến ngôi nhà mình cả. Nhưng sau chiều nay em bỗng phát hiện vẻ ngoài của ngôi nhà em rất đẹp. Dưới cơn mưa rào, trong cái nắng chiều oi ả ngôi nhà em hiện ra mập mờ sau tán cây. Một ngôi nhà 3 tầng với kiến trúc phương tây, mang chiếc áo màu trắng sữa mà em ví nó là chiếc bánh kem to lớn. Sau cơn mưa, những chậu phong lan được trồng ngoài hành lang đang đọng nước. Những tia nắng cuối ngày chiếu vào những cây hoa lan làm nó óng ánh và sáng lấp lánh một góc nhà. Gió nhẹ đưa tán cây bàng trước nhà rung rinh, làm cái bánh kem to lớn của em lúc ẩn lúc hiện. Trước nhà là cái cổng rào nhỏ nhắn, xinh xinh luôn vươn mình cho cây hoa giấy trổ một màu hồng thật đẹp. Chính nhờ cái cổng hoa giấy mà ngôi nhà em lúc nào cũng bừng sáng lên và là nó nổi bật hơn so với những ngôi nhà khác. Một khoảng sân nhỏ là nơi để xe của gia đình và cũng là nơi em vui chơi với chú chó tuyết của em. Phòng khách nhà em khá rộng với bộ bàn ghế gỗ đặt trước chiếc tủ gỗ để ti vi. Ba em rất yêu thích đồ gỗ nên cầu thang lên lầu cũng làm từ gỗ. Nhà bếp nằm sau phòng khách, là nơi luôn đầy ấp tiếng cười sau mỗi giờ cơm tối. Một chiếc bàn ăn nhỏ nằm giữa cái bếp và những cái tủ để đồ dùng. Nhà bếp của mẹ em tuy không to lắm nhưng luôn sáng và thoáng mát, bởi có cái cửa sổ thông ra ngoài và bên cạnh là nhà vệ sinh rộng rãi. Đường lên lầu được nối bởi cái cầu thang gỗ, dưới cầu thang em tận dụng là các hộc tủ để chứa đồ, rất đẹp và rất tiện nghi. Lầu một là phòng ngủ của em và phòng của ba mẹ. Phòng em có một chiếc giường nhỏ, một tủ quần áo bên trái,bên phải là chiếc bàn học nhỏ nhắn và ngay bên cạnh là góc chưng bày những món đồ chơi yêu thích của em. Phòng của ba mẹ cũng rất đơn giản như phòng em, thay vì phòng em có cái tủ đựng đồ chơi thì phòng ba mẹ là chiếc tủ để ti vi cho ba xem thời sự.  Lầu trên cùng là nơi em thích nhất, một phòng kho và một khu vườn nhỏ của gia đình. Đó là nơi thư giản của cả nhà sau một ngày mệt mỏi. Em cùng ba tưới nước, chăm những cây hoa mới trỗ. Có khi hai ba con mặt mài lem luốt vì thêm đất cho cây. Chú chim sáo nhảy nhót líu lo trong lồng khi nó thấy mẹ em bắt sâu cho mấy chậu rau sạch trong vườn. Mọi người không ngờ trên nhà em lại có khu vườn luôn xanh tươi, với đủ các loài hoa như phong lan, hoa hồng, thược dược,…Ngoài hoa còn có những đám rau xanh sạch, mấy cây ớt, cây chanh của mẹ cũng có
      Em yêu khu vườn nhỏ và yêu cả ngôi nhà của mình. Em luôn thầm cảm ơn nó vì nó luôn che chở cho cả nhà em dù nắng mưa hay gió bão. Dù nó là một vật không sống như cây cỏ nhưng nó luôn là nơi bảo vệ em tốt nhất, là nơi nuôi em khôn lớn và cũng là nơi cho em biết hai tiếng gia đình.

1/ Xét \(\left(n^{1010}\right)^2=n^{2020}< n^{2020}+1=\left(n^{1010}+1\right)^2-2n^{1010}< \left(n^{1010}+1\right)^2\)

Vì \(n^{2020}+1\)nằm ở giữa 2 số chính phương liên tiếp là \(\left(n^{1010}\right)^2\)và \(\left(n^{1010}+1\right)^2\)nên không thể là số chính phương.

2/ Mình xin sửa đề là 1 tí đó là tìm \(n\inℤ\)để A là số chính phương nha bạn, vì A hoàn toàn có thể là số chính phương

\(A>n^4+2n^3+n^2=\left(n^2+n\right)^2,\forall n\inℤ\)

\(A< n^4+n^2+9+2n^3+6n^2+6n=\left(n^2+n+3\right)^2,\forall n\inℤ\)

Vì A bị kẹp giữa 2 số chính phương là \(\left(n^2+n\right)^2,\left(n^2+n+3\right)^2\)nên A là số chính phương khi và chỉ khi:

+) \(A=\left(n^2+n+1\right)^2\Rightarrow n^4+2n^3+2n^2+n+7=n^4+n^2+1+2n^3+2n^2+2n\)

\(\Leftrightarrow n^2+n-6=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=2\\n=-3\end{cases}}\)

+) \(A=\left(n^2+n+2\right)^2\Rightarrow n^4+2n^3+2n^2+n+7=n^4+n^2+4+2n^3+4n^2+4n\)

\(\Leftrightarrow3n^2+3n-3=0\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\notinℤ\)---> Với n=-3;2 thì A là số chính phương.

3/ Bằng phản chứng giả sử \(n^3+1\)là số chính phương:

---> Đặt: \(n^3+1=k^2,k\inℕ^∗\Rightarrow n^3=k^2-1=\left(k-1\right)\left(k+1\right)\)

Vì n lẻ nên (k-1) và (k+1) cùng lẻ ---> 2 số lẻ liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau

Lúc này (k-1) và (k+1) phải là lập phương của 2 số tự nhiên khác nhau

---> Đặt: \(\hept{\begin{cases}k-1=a^3\\k+1=b^3\end{cases},a,b\inℕ^∗}\)

Vì \(k+1>k-1\Rightarrow b^3>a^3\Rightarrow b>a\)---> Đặt \(b=a+c,c\ge1\)

Có \(b^3-a^3=\left(k+1\right)-\left(k-1\right)\Leftrightarrow\left(a+c\right)^3-a^3=2\Leftrightarrow3ca^2+3ac^2+c^3=2\)

-----> Quá vô lí vì \(a,c\ge1\Rightarrow3ca^2+3ac^2+c^3\ge7\)

Vậy mâu thuẫn giả thiết ---> \(n^3+1\)không thể là số chính phương với n lẻ.

https://olm.vn/hoi-dap/question/997557.html

Trong đây mình đã làm bài như vậy rồi nhé ! :D

Giải giúp mình đi các pạn !!!