\(\dfrac{6n+1}{2n+1}\left(n\in Z\right)\\ =\dfrac{3\left(2n+1\right)-2}{2n+1}=3-\dfrac{2}{2n+1}\)

Để biểu thức nhận gt nguyên thì : \(\dfrac{2}{2n+1}\in Z\)

\(=>2n+1\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\\ =>2n\in\left\{0;-2;1;-3\right\}\\ =>n\in\left\{0;-1;\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2}\right\}\)

Do n nguyên -> Kết luận : n = 0 hoặc n = -1

Ở đây, ta có thực hiện đặt phép chia như câu 1 để tìm số dư và tìm điều kiện giá trị của n để thỏa mãn đề bài. Nhưng bài này ta làm cách biến đội như sau:

 Ta có \(\frac{2n+1}{2n-3}\) \(=\frac{2n-3+4}{2n-3}=1+\frac{4}{2n-3}\)

Để phân số \(\frac{2n+1}{2n-3}\) nguyên thì \(\frac{4}{2n-3}\) nguyên 

=> 4 \(⋮\) 2n-3

hay 2n-3  \(\in\) Ư (4)={1;2;4;-1;-2;-4}

Ta có bảng sau

Vậy n \(\in\) {2;1}
 

Để A là số nguyên thì 2n^2-n+4n-2+5 chia hết cho 2n-1

=>\(2n-1\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

=>\(n\in\left\{1;0;3;-2\right\}\)

      `2n^2+3n+3 | 2n-1`

`-`   `2n^2-n`           `n+2`

     ------------------

                `4n+3`

          `-`   `4n-2`

              ------------

                       `5`

`<=> (2n^2+3n+3) : (2n-1)=5`

`<=> 5 ⋮ (2n-1)=> 2n-1 ∈ Ư(5)`\(=\left\{1,5\right\}\)

`+, 2n-1=1=>2n=2=>n=1`

`+, 2n-1=-1=>2n=0=>n=0`

`+, 2n-1=5=>2n=6=>n=3`

`+,2n-1=-5=>2n=-4=>n=-2`

vậy \(n\in\left\{1;0;3;-2\right\}\)

\(\dfrac{3n+1}{3n-4}\left(n\in Z\right)\\ =\dfrac{3n-4+5}{3n-4}=1+\dfrac{5}{3n-4}\)

Để biểu thức đạt gt nguyên thì : \(\dfrac{5}{3n-4}\in Z\)

\(=>3n-4\inƯ\left(5\right)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\\ =>3n\in\left\{5;3;9;-1\right\}\\ =>n\in\left\{\dfrac{5}{3};1;3;-\dfrac{1}{3}\right\}\)

Do n nguyên -> Kết luận : \(n\in\left\{1;3\right\}\)

\(\dfrac{3n+1}{3n-4}\) \(=\dfrac{3n-4+5}{3n-4}\) \(=1+\dfrac{5}{3n-4}\)
Để biểu thức nhận giá trị nguyên thì \(5⋮\left(3n-4\right)\)
\(\Rightarrow\left(3n-4\right)\inƯ\left(5\right)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)
 

Vậy \(x=1\) hoặc \(x=3\) thì biểu thức \(\dfrac{3n+1}{3n-4}\) nhận giá trị nguyên

A = \(\dfrac{3n+1}{3n-4}\) (đkxđ n \(\ne\) \(\dfrac{4}{3}\))

A \(\in\) Z ⇔ 3n + 1 ⋮ 3n - 4 ⇔ 3n - 4 + 5 ⋮ 3n - 4 ⇔ 5 ⋮ 3n - 4

⇔ 3n - 4 \(\in\) { - 5; -1; 1; 5} ⇔ n \(\in\) { - \(\dfrac{1}{3}\);  1; \(\dfrac{5}{3}\); 3}

Vì n \(\in\) Z nên n \(\in\) { 1; 3}

Đề bài yêu cầu gì?

đề bài