Cho x, y, m, n là các số nguyên thỏa mãn x + y = m + n. Chứng minh rằng S = x2 + y2 + m2 + n2 bằng tổng bình phương của ba số nguyên
cho x, y, m, n là các số nguyên thỏa mãn
x+y=m+n CMR
\(S=x^2+y^2+m^2+n^2\) là tổng bình phương của 3 số nguyên
Các thầy cô giúp dùm em với ạ
Cho 2 số không âm x, y thỏa mãn x2 + y2 = x+y+xy. Biết rằng tập giá trị của biểu thức S = x+ y là [m ; n]. Tính giá trị của biểu thức m2+n2
A. 16. B. 13 C. 25 D. 34
Ta có \(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\).
Do đó ta có: \(x+y+xy=x+y-2xy+3xy\le x+y-2xy+\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\le x+y-2xy+\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)-1\right]\le0\)
\(\Leftrightarrow0\le x+y\le4\).
Do đó m = 0, n = 4.
Vậy m2 + n2 = 16. Chọn A.
Ch x,y là các số nguyên thỏa mãn x2 +y2 -x \(⋮\) xy . Chứng minh rằng x là số chính phương
Bài 1. Cho x, y là hai số nguyên dương thỏa mãn x2 + 2y là một số chính phương. Chứng minh rằng x2 + y là tổng của hai số chính phương
Bài 2. Cho a, b là hai số nguyên. Chứng minh rằng 2a2+2b2 là tổng của hai số chính phương
Bài 2:
Ta có: 2a2+2b2=(a2+2ab+b2)+(a2-2ab+b2)
=(a+b)2+(a-b)2 là tổng 2 số chính phương
⇒2a2+2b2 là tổng của 2 số chính phương(đpcm)
Biết x, y, m, n thuộc Z. Thỏa mãn điều kiện :
x + y = m + n. CMR :
S = x^2 + y ^2 + m^2 + n^2 luôn bằng tổng các bình phương của 3 số nguyên
Ta có: \(x+y=m+n\Rightarrow n=x+y-m\)
\(\Rightarrow S=x^2+y^2+m^2+\left(x+y-m\right)^2\)
\(=x^2+y^2+m^2+(x^2+y^2+m^2+2xy-2mx-2my)\)
\(=x^2+y^2+m^2+(x^2+y^2+m^2+2xy-2mx-2my)\)
\(=x^2+y^2+m^2+x^2+y^2+m^2+2xy-2mx-2my\)
\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(m^2-2mx+x^2\right)+\left(m^2-2my+y^2\right)\)
\(=\left(x+y\right)^2+\left(m-x\right)^2+\left(m-y\right)^2\)
Vì x, y, m, n \(\in\) Z nên x + y; m - x; m - y là số nguyên
Vậy S luôn bằng tổng các bình phương của 3 số nguyên
Cho x,y là các số nguyên dương thỏa mãn x2-y và x2+y đề là các số chính phương . Chứng minh y là số chẵn
Giả sử \(y\) là số lẻ
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-y=m^2\\x^2+y=n^2\end{matrix}\right.\left(m,n\inℕ;m< n\right)\)
\(\Rightarrow2y=n^2-m^2\) \(\Rightarrow n^2-m^2\) chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4.
Thế nhưng, ta thấy \(n^2\) và \(m^2\) khi chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1, vậy nên \(n^2-m^2\) khi chia cho 4 sẽ chỉ có số dư là \(0,1,-1\), nghĩa là nếu \(n^2-m^2\) mà chia hết cho 2 thì buộc hiệu này phải chia hết cho 4, mâu thuẫn. Vậy điều giả sử là sai \(\Rightarrow\) đpcm.
cho x, y, m, n, thuộc Z thoa mãn đẳng thức x + y = m + n . CMR S = x^2 + y^2 + m^2 + n^2 là tổng bình phương 3 số nguyên
Bài 8. Cho số nguyên dương n. Tồn tại hay không số nguyên dương d thỏa mãn: d là ước của 3n^2 và n^2 +d là số chính phương. Bài 9. Chứng minh rằng không tồn tại hai số nguyên dương x, y thỏa mãn x^2 +y+1 và y^2 +4x+3 đều là số chính phương.
Ai đó giúp mình đi mòaa🤤🤤🤤
cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn \(\frac{x^2-1}{2}=\frac{y^2-1}{3}\) .chứng minh rằng x2 -y2 chia hết cho 40
Giả thiết đã cho có thể viết lại được thành 3x2-2y2=1(1)
Từ đây, ta có x lẻ nên x2chia 8 dư 1 => 3x2 chia 8 dư 3
Từ đo ta có 2y2 chia 8 dư 2
=> y2 chia 8 dư 1. Do đó: x2-y2 chia 8 (2)
Tiếp theo ta sẽ chứng minh x2-y2chia hết cho 5 (3)
Chú ý rằng số dư của a2 (a thuộc Z) khi chia cho 5 là 0;1 và 4
Nếu y2 chia 5 thì từ (1) ta có 3x2 chia 5 dư 1, mâu thuẫn do só dư của 3x2 khi chia 5 chỉ có thể là 0;3;2Nếu y2 chia 5 dư 4 thì từ (1) ta có 3x2 chia 5 dư 4, mâu thuẫnDo đó ta phải có y2 chia 5 dư 1. Khi đó từ (1) ta cũng suy ra x2 chia 5 dư 1. Dẫn đến x2-y2 chia hết cho 5Từ (2) và (3) với chú ý (5;8)=1 ta thu được x2-y2 chia hết cho 40 (đpcm)