Đặt \(A=n^2-4n+7\) .

1. Với n = 0 => A = 7 không là số chính phương (loại)

2. Với n = 1 => A = 4 là số chính phương (nhận)

3. Với n > 1 , ta xét khoảng sau : \(n^2-4n+4< n^2-4n+7< n^2\)

\(\Rightarrow\left(n-2\right)^2< A< n^2\)

Vì A là số tự nhiên nên  \(A=\left(n-1\right)^2\Leftrightarrow n^2-4n+7=n^2-2n+1\Leftrightarrow2n=6\Leftrightarrow n=3\)

Thử lại, n = 3 => A = 4 là một số chính phương.

Vậy : n = 1 và n = 3 thoả mãn đề bài .

a) \(-7n+3⋮n-1\)

\(\Rightarrow\left(-7n+3\right).1-\left(-7\right).\left(n-1\right)⋮n-1\)

\(\Rightarrow-7n+3+7n-7⋮n-1\)

\(\Rightarrow-4⋮n-1\)

\(\Rightarrow n-1\in\left\{-1;1;-2;2;-4;4\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{0;2;-1;3;-3;5\right\}\)

b) \(4n+5⋮4-n\)

\(\Rightarrow\left(4n+5\right).1-\left(-4\right)\left(4-n\right)⋮4-n\)

\(\Rightarrow4n+5-4n+16⋮4-n\)

\(\Rightarrow21⋮4-n\)

\(\Rightarrow4-n\in\left\{-1;1;-3;3;-7;7;-21;21\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{5;3;7;1;11;-3;25;-17\right\}\)

c) \(3n+4⋮2n+1\)

\(\Rightarrow\left(3n+4\right).2-3.\left(2n+1\right)⋮2n+1\)

\(\Rightarrow6n+8-6n-3+1⋮2n+1\)

\(\Rightarrow5⋮2n+1\)

\(\Rightarrow2n+1\in\left\{-1;1;-5;5\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{-1;0;-3;2\right\}\)

d) \(4n+7⋮3n+1\)

\(\Rightarrow\left(4n+7\right).3-4.\left(3n+1\right)⋮3n+1\)

\(\Rightarrow12n+21-12n-4⋮3n+1\)

\(\Rightarrow17⋮3n+1\)

\(\Rightarrow n\in\left\{-\dfrac{2}{3};0;-6;\dfrac{16}{3}\right\}\Rightarrow n\in\left\{0;-6\right\}\left(n\in Z\right)\)

\(\Rightarrow3n+1\in\left\{-1;1;-17;17\right\}\)

a) Ta có: -7n + 3 chia hết cho n - 1

=> (-7n + 3) % (n - 1) = 0

=> -7n + 3 = k(n - 1), với k là một số nguyên

=> -7n + 3 = kn - k => (k - 7)n = k - 3

=> n = (k - 3)/(k - 7),

với k - 7 khác 0 Vậy n thuộc Z khi và chỉ khi k - 7 khác 0.

b) Ta có: 4n + 5 chia hết cho 4 - n

=> (4n + 5) % (4 - n) = 0

=> 4n + 5 = k(4 - n), với k là một số nguyên

=> 4n + 5 = 4k - kn

=> (4 + k)n = 4k - 5

=> n = (4k - 5)/(4 + k), với 4 + k khác 0

Vậy n thuộc Z khi và chỉ khi 4 + k khác 0.

c) Ta có: 3n + 4 chia hết cho 2n + 1

=> (3n + 4) % (2n + 1) = 0

=> 3n + 4 = k(2n + 1), với k là một số nguyên

=> 3n + 4 = 2kn + k

=> (2k - 3)n = k - 4

=> n = (k - 4)/(2k - 3), với 2k - 3 khác 0

Vậy n thuộc Z khi và chỉ khi 2k - 3 khác 0.

d) Ta có: 4n + 7 chia hết cho 3n + 1

=> (4n + 7) % (3n + 1) = 0

=> 4n + 7 = k(3n + 1), với k là một số nguyên

=> 4n + 7 = 3kn + k

=> (3k - 4)n = k - 7 => n = (k - 7)/(3k - 4), với 3k - 4 khác 0

Vậy n thuộc Z khi và chỉ khi 3k - 4 khác 0.

Ta có 4n-5=4(n-1)-1

=> 1 chia hết cho n-1

n thuộc Z => n-1 thuộc Z => n-1\(\in\)Ư(1)={-1;1}

Nếu n-1=-1 => n=0

Nếu n-1=1 => n=2

\(4n-5⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow4\left(n-1\right)-1⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow1⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow n-1\in\left\{1;-1\right\}\)

\(\Leftrightarrow n\in\left\{2;0\right\}\)

cách thứ 2 :

ta có : \(n-1⋮n-1\Rightarrow4\left(n-1\right)⋮n-1\Rightarrow4n-4⋮n-1\)

ta cũng có 4n-5 chia hết cho n-1

\(\Rightarrow\left(4n-5\right)-\left(4n-4\right)⋮n-1\)

\(\Rightarrow1⋮n-1\)

\(\Rightarrow n-1\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)

ta có bảng :

Vậy \(n\in\left\{2;0\right\}\)

8n+19 chia hết 4n+1

,4n+1 chia hết 4n+1=>2(4n+1)=8n+2 chia hết 4n+1

=>(8n+19-8n-2) chia hết 4n+1=>17 chia hết 4n+1=>4n+1 E Ư(17)=1;17;-1;-17 và n E N

=>n=0;4

4n - 5 chia hết cho n - 3

4n - 12 + 7 chia hết cho n - 3

 Mà 4n - 12 chia hết cho n - 3

7 chia hết cho n - 3

n - 3 thuộc U(7) = {-7 ; -1 ; 1 ; 7}

n thuộc {-4 ; 2 ; 4 ; 10}

4n - 5 ⋮ n - 3 <=> 4.( n - 3 ) + 7 ⋮ n - 3

Vì 4.( n - 3 ) + 7 ⋮ n - 3 . Để 4.( n - 3 ) + 7 ⋮ n - 3 <=> 7 ⋮ n - 3 

=> n - 3 ∈ Ư ( 7 ) = { - 7 ; - 1 ; 1 ; 7 }

Ta có bảng sau :

Vậy n ∈ { - 4 ; 2 ; 4 ; 10 }

Để 4n - 5  chia hết cho n - 3

=> 4n - 12 + 7 chia hết cho n - 3

=> 7 chia hết cho n - 3

=> n - 3 ∈ Ư(7)

=> n - 3 ∈ { ±1 ; ±7 }

- Nếu n - 3 = 1 => n = 4

- Nếu n - 3 = -1 => n = 2

- Nếu n - 3 = 7 => n = 10

- Nếu n - 3 = -7 => n = -4

Vậy n ∈ { 2 ; -4 ; 4 ; 10 } thì 4n - 5 chia hết cho n -3

● ta có -512/343=(-8/7)^3       =>n=3

● ta có 81/256=(-3/4)^4          =>n=4

● ta có  81=(-3)^4                     =>n=4

Để phân số nhận giá trị nguyên 

=> 8n - 3 chia hết cho 4n + 2

8n + 4 - 4 - 3 chia hết cho 4n + 2

2(4n + 2) - 7 chia hết cho 4n + 2

=> 7 chia hết cho 4n + 2

=> 4n + 2 thuộc Ư(7) = {1 ; -1 ;7 ; -7}

Xét các giá trị trên , ta có bảng sau 

Để 8n-3/4n+3 có giá trị là số nguyên thì 8n-3:4n+3

Ta có: 8n-3:4n+3

       =>8n+6-9:4n+3

       =>2(4n+3)-9:4n+3

   Mà 2(4n+3):4n+3

  =>9:4n+3

  =>4n+3 thuộc Ư(9)=-1;1;-3;3;-9;9

Nếu  4n+3=-1 thì n=-1

Nếu  4n+3=1 thì -0.5(loại)

Nếu  4n+3=-3 thì n=-1.5(loại)

Nếu  4n+3=3 thì n=0

Nếu 4n+3=-9 thì n=-3

Nếu 4n+3=9 thì n=1.5(loại)

Vậy n=-1;-3;0

Để \(\frac{8n-3}{4n+2}\)là phân số tối giản thì \(8n-3⋮4n+2\)

Mà \(4n+2⋮4n+2\)     

Để                                              

(4n-5)/(n-3)= (4(n-3)+7)/(n-3)=4+7/(n-3) 
để 4n-5 chia hết cho n-3 thì kết quả của phép chia này phải là số nguyên=> 7/(n-3) phải là số nguyên. 
7/(n-3) là số nguyên khi n-3 thuộc Ư(7).Mà Ư(7)=(-1;1;-7;7) 
=> 
TH1:n-3=-1=>n=-1+3=2 
TH2:n-3=1=>n=1+3=4 
TH3:n-3=-7=>n=-7+3=-4 
TH4:n-3=7=>n=7+3=10 
Vậy để 4n-5 chia hết cho n-3 thì n thuộc {2;4;-4;10)

4n-5 chia hết cho n-3

4n-12+17 chia hết cho n-3

4(n-3)+17 chia hết cho n-3

=>17 chia hết cho n-3 hay (n-3)EƯ(17)={1;-1;17;-17}

=>nE{4;2;20;-14}

n thuộc {2;4;-4;10} k đúng cho mình nha