Do p nguyên tố nên:

+) Xét p = 2 ta có: p² + 8 = 2² + 8 = 12 là hợp số (loại)

+) Xêt p = 3 ta có: p² + 8 = 3² + 8 = 17 là nguyên tố (chọn)

+) Xét p > 3  => p = 3k + 1  hoặc  p = 3k + 2

Khi p = 3k + 1  => p² + 8 = (3k + 1)² + 8 = 9k² + 3k + 1 + 8 = 9k² + 3k + 9 = 3(3k² + k + 3) chia hết cho 3  => p² + 8 là hợp số (loại) 

Khi p = 3k + 2  => p² + 8 = (3k + 2)² + 8 = 9k² + 6k + 4 + 8 = 9k² + 6k + 12 = 3(3k² + 2k + 4) chia hết cho 3  => p² + 8 là hợp số (loại) 

=> p = 3 để p và p² + 8 là nguyên tố 

Khi đó: p² + 2 = 3² + 2 = 11 là nguyên tố

Vậy nếu p và p² + 8 là nguyên tố thì p² + 2 cũng nguyên tố.

p=3

                   TH1:p<3

                   +Vì p<3;mà p là số nguyên tố =>p=2.

                   Với p=2 ta có:p³+2=2³+2=8+2=10(là hợp số nên loại)

                   TH2:p>3

                   +vì p>3 nên=>p=6k+1 hoặc p=6k+5.

                   Với p=6k+1 ta có :p³+2=(6k+1)³+2=6k³+1+2=6k³+3:3(là  hợp số nên loại)

                   Với p=6k+5 ta có:p³+2=(6k+5)³+2=6k³+125+2=6k³+127(vì UCLN(6k³;127)=1=>6k³+127 là số nguyên tố nên nhận)

                                                          Vậy với p=6k+5 thì p³+2 cũng là số nguyên tố.

Dễ

Do p là số nguyên tố nên p là số tự nhiên.

Xét p = 3k + 1=> p² + 8 = ( 3k + 1 )² + 8 = 9k² + 6k + 9 \(⋮\) 3 ( là hợp số )

Xét p = 3k + 2 => p² + 8 = ( 3k + 2 )² + 8 = 9k² + 12k + 12 \(⋮\) 3 ( là hợp số )

Xét p = 3k => k = 1 do p là số nguyên tố => p² + 8 = 9 + 8 = 17 ( thỏa mãn )

Ta có : p² + 2 = 11. Mà 11 là số nguyên tố => Điều cần chứng minh

Bài này cũng giống như bài tìm p nguyên tố sao cho p²+8 là số nguyên tố thôi

Cách làm cũng giống luôn

Xét p=2

... loại

Xétp=3

... thỏa mãn

Xét p> 3 thì dùng đồng dư

Ta có: \(p\equiv\pm1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow p^2\equiv1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow p^2+8\equiv9\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow p^2+8⋮3\)

Mà \(p^2+8>3\)

Nên là hợp số ( loại)

+, p=2 thì ko t/m

+, p = 3 => p^2+8 = 17 nguyên tố

=> p^2+2 = 3^2+2 = 11 nguyên tố

+, p > 3 => p ko chia hết cho 3

=> p^2 chia 3 dư 1 => p^2+8 chia hết cho 3

Mà p^2+8 > 3 => p^2+8 là hợp số

Vậy ............

Tk mk nha

Nếu n > 3 thì vì n là nguyên tố nên n chia cho 3 dư 1 hoặc 2 => \(n=3k\pm1\) 

Suy ra \(n^2+2=9k^2+3\) chia hết cho 3. Trái với giả thiết \(n^2+2\) là số nguyên tố.

Vậy n chỉ có thể bằng 3. Khi đó \(n;n^2+2;n^3+2\) lần lượt là \(3;11;29\) đều là số nguyên tố.

etetrttymrturfgdfeeeyeeegguthkxgdzyyyzrzeeerrttytjjmetetetetethehtemeteteetu,o;/o

7lkyuxrxytwtqtwyer

Nếu n > 3 vì n là số nguyên tố nên n chia cho 3 dư 1 hoặc =>n= 3k+1 hoặc n=3k-1

=> n² +2= 9k² + 3 chia hết cho 3 (vô lí với đề bài n² +2 là số nguyên tố)

Vậy n=3 KHI đó n :n² + 2 :n³ + 2 lần 3;11;29 đều là số nguyên tố

p=2 thì p^2+2=6(loại vì 6 ko là số nguyên tố)
p=3 thì p^2+2=11(chọn vì 11 là số nguyên tố)
=>p^3+2=3^3+2=29 (là số nguyên tố)
p>3
vì p là số nguyên tố =>p ko chia hết cho 3 (1)
p thuộc Z =>p^2 là số chính phương (2)
từ (1),(2)=>p^2 chia 3 dư 1
=>p^2+2 chia hết cho 3 (3)
mặt khác p>3
=>p^2>9
=>p^2+2>11 (4)
từ (3),(4)=>p^2+2 ko là số nguyên tố (trái với đề bài)

Vậy ...