\(\frac{a}{2003}=\frac{b}{2004}=\frac{a-b}{2003-2004}=-\left(a-b\right)\) = -(b-c)=\(\frac{c-a}{2}\)

=> -(a-b).(-(b-c)=\(\frac{c-a}{2}.\frac{c-a}{2}=\frac{\left(c-a\right)^2}{4}\)

<=> 4.(a-b).(b-c)=(c-a)²

Đặt \(\frac{a}{2003}=\frac{b}{2004}=\frac{c}{2005}=k\left(k\ne0\right)\)

\(\Rightarrow a=2003k\), \(b=2004k\), \(c=2005k\)

Ta có: \(4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=4\left(2003k-2004k\right)\left(2004k-2005k\right)\)

\(=4.\left(-k\right).\left(-k\right)=4k^2\)(1)

Mặt khác ta có: \(\left(c-a\right)^2=\left(2005k-2003k\right)^2=\left(2k\right)^2=4k^2\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\left(c-a\right)^2\)( đpcm )

Đặt \(\frac{a}{2003}=\frac{b}{2004}=\frac{c}{2005}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=2003k\\b=2004k\\c=2005k\end{cases}}\)

*\(4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=4\left(2003k-2004k\right)\left(2004k-2005k\right)\)

\(=4\left(-k\right)\left(-k\right)=4k^2\)(1)

*\(\left(c-a\right)^2=\left(2005k-2003k\right)^2=\left(2k\right)^2=4k^2\)(2)

Từ (1) và (2) => đpcm

Đặt \(\frac{a}{2003}\) = \(\frac{b}{2004}\) = \(\frac{c}{2005}\) = k

=> a = 2003k; b = 2004k và c = 2005k

Xét hiệu:

4(a - b)(b - c) - (c - a)²

= 4(2003k - 2004k)(2004k - 2005k) - (2005k - 2003k)²

= 4(-k)(-k) - (2k)²

= 4k² - 2².k²

= 4k² - 4k² = 0

Do đó 4(a - b)(b - c) = (c - a)².

Bạn học trường nào vậy Mk thay cai bài này la cua huyện mk nên hỏi vây thôi

Đặt \(\frac{a}{2003}=\frac{b}{2004}=\frac{c}{2005}=k\)

\(\Rightarrow a=2003k;b=2004k;c=2005k\)

Thay a = 2003k, b = 2004k, c = 2005k vào 4(a - b)(b - c), ta có:

4(2003k - 2004k)(2004k - 2005k)

= 4(-k)(-k)

= 4k²

Thay a = 2003k, b = 2004k, c = 2005k vào (c - a)², ta có:

(2005k - 2003k)² = (2k)² = 4k²

Vì 4k² = 4k² nên 4(a - b)(b - c) = (c - a)²

Vậy với \(\frac{a}{2003}=\frac{b}{2004}=\frac{c}{2005}\)thì \(4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\left(c-a\right)^2\) 

dat \(\frac{a}{2003}=\frac{b}{2004}=\frac{c}{2005}=k\)

suy ra \(\hept{\begin{cases}a=2003k\\b=2004k\\c=2005k\end{cases}}\)

4.(a-b).(b-c)=4.(2003k-2004k).(2004k-2005k)=4k^2

(c-a)^2=(2005k-2003k)^2=4k^2

xong roi do cho minh dung nhe!

 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

\(\frac{a}{2003}=\frac{b}{2004}=\frac{c}{2005}=\frac{a-b}{2003-2004}=\frac{b-c}{2004-2005}=\frac{c-a}{2005-2003}\)

\(\Rightarrow-\left(a-b\right)=-\left(b-c\right)=\frac{c-a}{2}\)

Thay vào \(4\left(a-b\right)\left(b-c\right)\), ta được :

\(4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=4\left(-\frac{c-a}{2}\right)\left(-\frac{c-a}{2}\right)\)

\(\Rightarrow4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=4\left[\frac{\left(c-a\right)^2}{4}\right]\)

\(\Rightarrow4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\left(c-a\right)^2\)( điều phải chứng minh ) 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

\frac{a}{2003}=\frac{b}{2004}=\frac{c}{2005}=\frac{a-b}{2003-2004}=\frac{b-c}{2004-2005}=\frac{c-a}{2005-2003}2003a​=2004b​=2005c​=2003−2004a−b​=2004−2005b−c​=2005−2003c−a​

\Rightarrow-\left(a-b\right)=-\left(b-c\right)=\frac{c-a}{2}⇒−(a−b)=−(b−c)=2c−a​

Thay vào 4\left(a-b\right)\left(b-c\right)4(a−b)(b−c), ta được :

4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=4\left(-\frac{c-a}{2}\right)\left(-\frac{c-a}{2}\right)4(a−b)(b−c)=4(−2c−a​)(−2c−a​)

\Rightarrow4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=4\left[\frac{\left(c-a\right)^2}{4}\right]⇒4(a−b)(b−c)=4[4(c−a)2​]

\Rightarrow4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\left(c-a\right)^2⇒4(a−b)(b−c)=(c−a)2( điều phải chứng minh )