Xét : \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge\)  0 ( luôn đúng )

<=> \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\) \(\ge0\) 

=> \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge ab+bc+ca\)  . Dấu "=" xảy ra tại a=b=c                                               (1)

=> \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

<=> (a+b+c)² \(\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

<=> \(\frac{4}{3}\ge\left(ab+bc+ca\right)\)     . Dấu "=" xảy ra tại a=b=c                    (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra : \(MinK=\frac{4}{3}\) Dấu "=" xảy ra tại a=b=c 

Dự đoán dấu "=" và chọn điểm rơi phù hợp để áp dụng bất đẳng thức Trung bình cộng - Trung bình nhân

\(2a\)\(:\)\(x+y=2\)

\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2=4\)

\(\Rightarrow x^2+y^2=4-2xy\)

\(\Rightarrow4-2xy\)nhỏ nhất 

\(\Rightarrow xy\)lớn nhất 

Mà x + y = 2 \(\Rightarrow\)x , y không thể là 2 số âm

vì ta cần xy lớn nhất nên x , y không thể khác dấu

\(\Rightarrow\)ta chỉ còn trường hợp x , y đều dương và x + y = 2 

\(\Rightarrow xy\)lớn nhất khi và chỉ khi x = 2 ; y= 0 và x = 0 ; y = 2

không chắc nữa

bbnfcfib hzj 65637664ytcfc byc vvh v

Áp dụng bất đẳng thức Caushy dạng engel, ta có:

\(a^2+b^2+c^2=\dfrac{a^2}{1}+\dfrac{b^2}{1}+\dfrac{c^2}{1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}\)\(=\dfrac{4}{3}\)\(\Leftrightarrow a^2=b^2=c^2=\dfrac{4}{9}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}\)

Áp dụng BĐT Bunyakovsky,ta có:

\(\left(a+b+c\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\).

\(a^2+b^2+c^2\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{4}{3}\)

\(Min_K=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}\)