Hình:

Giải:

a) Ta có:

\(AB>AC\left(gt\right)\)

\(\Leftrightarrow HB>HC\) (Quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên)

b) Ta có: \(AB>AC\left(gt\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}< \widehat{ACB}\) (Quan hệ cạnh và góc đối diện)

Lại có:

\(\widehat{BAH}+\widehat{ABC}+\widehat{AHB}=180^0\) (Tổng ba góc tam giác)

\(\Leftrightarrow\widehat{BAH}+\widehat{ABC}+90^0=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BAH}=180^0-\widehat{ABC}-90^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BAH}=900^0-\widehat{ABC}\)

Tương tự ta được:

\(\Leftrightarrow\widehat{CAH}=900^0-\widehat{ACB}\)

Ta có:

\(\widehat{ABC}< \widehat{ACB}\) (Chứng minh trên)

\(\Leftrightarrow-\widehat{ABC}>-\widehat{ACB}\)

\(\Leftrightarrow90^0-\widehat{ABC}>90^0-\widehat{ACB}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BAH}>\widehat{CAH}\)

c) Gọi I và K lần lượt là giao điểm của HN với AC và HM với AB

Xét tam giác AIN và tam giác AIH, có:

\(\widehat{AIN}=\widehat{AIH}=90^0\) (HN là đường trung trực của AC)

AI chung

\(IN=IH\) (HN là đường trung trực của AC)

\(\Rightarrow\Delta AIN=\Delta AIH\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AN=AH\) (Hai cạnh tương ứng) (1)

Chứng minh tương tự với tam giác AKM và tam giác AKH, ta được:

\(\Delta AKM=\Delta AKH\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AM=AH\) (Hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AM=AN\) (Bắc cầu)

Suy ra tam giác MAN cân tại A

Vậy ...

gọi giao điểm của AB vs DH là N; giao điểm của AC vs EH là M

xét tam giác DIN và tam giác HIN = nhau(c.g.c) suy ra IN hay IB là phân giác góc DIH

xét tam giác MKH và tam giác MKE = nhau (c.g.c) suy ra kc là phân giác góc MKE

ta lại có HA là phân giác góc HIK( NA,MA là phân giác góc ngoài)

mà góc AHC=90 độ(gt) suy ra HC là phân giác góc ngoài tam giác HIK tại đỉnh H

mà KC là phân giác góc ngoài tam giác HIK tại đỉnh K

suy ra IC là phân giác góc KIH

mà IB là phân giác góc DIH

góc KIH + góc DIH=180 độ( kề bù) suy ra góc BIC=90 độ

suy ra góc AIC=90 độ

góc AKB cm tương tự = 90 độ

tuy mk ko biết chắc cách giải nhưng mk chắc bạn Đức làm sai rồi!

$\large\Delta{ADB} = \large\Delta{AEC} (c.g.c)$ (bạn tự chứng minh 2 tam giác này bằng nhau nhé!) 
\Rightarrow $\widehat{BAD} = \widehat{EAC}$ (cặp góc tương ứng) (1) 
Trên tia đối của tia DA lấy O sao cho DA = DO. 
\Rightarrow $\large\Delta{ADE} = \large\Delta{ODB}$ (tự CMinh)
\Rightarrow $\hat{BOD} = \hat{DAE}$ (cặp góc tương ứng) ; AE = BO (cặp cạnh tương ứng) 
Ta có : 
$\hat{AEC} > \hat{ABE}$ (vì $\hat{AEC}$ là góc ngoài tại đỉnh E của tam giác AEB) 
\Rightarrow $\hat{AEC} > \hat{ACE}$ (vì $\hat{ABC} = \hat{ACB}$ do tam giác ABC cân tại A) 
\Rightarrow AC > AE (Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác) 
\Rightarrow AB > BO 
\Rightarrow $\hat{BOD} > \hat{BAD}$ (quan hẹ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác) 
\Rightarrow $\hat{DAE} > \hat{BAD}$ (2) 
Từ (1) và (2) \Rightarrow đpcm