1) Với x > 0 ta có:

\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2+1}{x}\ge\dfrac{2x}{x}\\ \Leftrightarrow x^2+1\ge2x\left(\text{vì }x>0\right)\\ \Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge0\left(\text{luôn đúng }\forall x>0\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=1\). Vậy BĐT được chứng mình với x > 0.

1: Áp dụng Bđt cosi, ta được:

\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\cdot\sqrt{x\cdot\dfrac{1}{x}}=2\)

2a) 

Có \(abcd=1\Rightarrow ab=\dfrac{1}{cd}\)

Áp dụng BĐT vừa chứng mình ở bài 1, ta có:

\(cd+\dfrac{1}{cd}\ge2\Leftrightarrow ab+cd\ge2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow cd=1\)

Vậy BĐT được chứng minh với a,b,c,d > 0 thỏa mãn abcd = 1.

ĐCM vãi cả Please sigh

\(a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-ab=\left(c+d\right)^2-cd\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-\left(c+d\right)^2=ab-cd\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c-d\right)\left(a+b+c+d\right)=ab-cd\)

Giả sử a+b+c+d là số nguyên tố

Đặt \(a+b+c+d=p\Rightarrow a+b+c\equiv-d\left(modp\right)\)

Mặt khác:

\(ab-cd\equiv0\left(modp\right)\Rightarrow ab+c\left(a+b+c\right)\equiv0\left(modp\right)\Rightarrow\left(a+c\right)\left(b+c\right)\equiv0\left(modp\right)\)

\(\Rightarrow a+c\equiv b+c\equiv0\left(modp\right)\) ( vô lý nha )

Vậy a+b+c+d là hợp số,nhớ trước có sol khá ngắn mà quên mất tiêu

Ta có dãy số:1,2,3,4,........,2016

Số số hạng của dãy là:

   (2016-1):1+1=2016(số)

Tổng các số trên là:

   \(\frac{\left(2016+1\right).2016}{2}=2033136\)

Trở lại bài toán ta có:

-1-2-3-4-..........-2016

=-(1+2+3+4+.......+2016)           {Khi mở ngoặc sẽ đổi dấu}

=-2033136

-(1+2+3+........+2016)

=(-2033136)

a) 1/7 . 5/6 + 1/7 . 1/6 + -8/7

= 1/7 . ( 5/6 + 1/6 ) + -8/7

= 1/7 . 1 + -8/7

= 1/7 + -8/7 = -1

b) 3/5 . -4/9 . 5/3 . 18/7

= ( 3/5 . 5/3 ) . ( -4/9 . 18/7 ) 

= 1 . -8/7 = -8/7

c) 1/2 + -3/4 . 16/9

= 1/2 + -4/3 = -5/6

d) ( 1/7 + 5/14 ) . -28/3

= 1/2 . -28/3 = -14/3