Ta có: \(\frac{a^3+b^3}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}=\left(a+b\right)\sqrt{a^2-ab+b^2}\)

\(=\sqrt{a+b}\sqrt{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}=\sqrt{a+b}\sqrt{a^3+b^3}\)

\(=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)}=\sqrt{\left(\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2\right)\left(\sqrt{a^3}^{^2}+\sqrt{b^3}^{^2}\right)}\)

Áp dụng BĐT Bunhi... ta có:

\(\left(\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2\right)\left(\sqrt{a^3}^{^2}+\sqrt{b^3}^{^2}\right)^2\ge\left(\sqrt{a}\sqrt{a^3}+\sqrt{b}\sqrt{b^3}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2\right)+\left(\sqrt{a^3}^{^2}+\sqrt{b^3}^{^2}\right)}\)\(\ge\sqrt{a}\sqrt{a^3}+\sqrt{b}\sqrt{b^3}=\sqrt{a^4}+\sqrt{b^4}=a^2+b^2\)

\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\ge a^2+b^2\) (1)

Tương tự ta có: \(\frac{b^3+c^3}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}\ge b^2+c^2\) (2)

\(\frac{c^3+d^3}{\sqrt{c^2-cd+d^2}}\ge c^2+d^2\)(3)

\(\frac{d^3+a^3}{\sqrt{d^2-da+a^2}}\ge d^2+a^2\)(4)

Cộng vế với vế của 1,2,3,4 ta được:

\(\frac{a^3+b^3}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{b^3+c^3}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{c^3+d^3}{\sqrt{c^2-cd+d^2}}+\frac{d^3+a^3}{\sqrt{d^2-da+a^2}}\)\(\ge2\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\left(\text{đ}pcm\right)\)

Hoặc \(\left(a+b\right)\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge a^2+b^2\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)^2\ge0\)(bình phương lên)

Áp dụng BĐT Mincopxki:

\(P\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+2\left(a+b+c\right)^2}=\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Lại có do \(a;b;c\ge0\) nên:

\(a^2+2b^2\le a^2+2\sqrt{2}ab+2b^2=\left(a+\sqrt{2}b\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+2b^2}\le a+\sqrt{2}b\)

Tương tự và cộng lại:

\(\Rightarrow P\le\left(\sqrt{2}+1\right)\left(a+b+c\right)=\sqrt{2}+1\)

Dấu "=" xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(1;0;0\right)\) và các hoán vị

\(a;b\ge0\Rightarrow ab\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+2b^2+2\sqrt{2}ab\ge a^2+2b^2\)

4. \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=6\sqrt{55}\)

\(6\sqrt{55}\)  là số vô tỉ, suy ra vế trái phải là các căn thức đồng dạng chứa  \(\sqrt{55}\)

Đặt  \(\sqrt{x}=a\sqrt{55};\sqrt{y}=b\sqrt{55}\)  với  \(a,b\in N\)

\(\Rightarrow a+b=6\)

Xét các TH:

a = 0 => b = 6

a = 1 => b = 5

a = 2 => b = 4

a = 3 => b = 3

a = 4 => b = 2

a = 5 => b = 1

a = 6 => b = 0

Từ đó dễ dàng tìm đc x, y

Biên cưng. Minh Quân đây. 

Bài 2 xét x=0 => A =0

xét x>0 thì \(A=\frac{1}{x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}}\)

để A nguyên thì \(x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}\inƯ\left(1\right)\)

=>cho \(x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}\)bằng 1 và -1 rồi giải ra =>x=?

1,Ta có \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}\)

=> \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=2\)

\(a+2=a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)

\(b+2=\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)\)

\(c+2=\left(\sqrt{c}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\)

=> \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}+\frac{\sqrt{b}}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}+...\)

=> \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+...=\frac{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)

=> M=0

Vậy M=0 

Ta có \(\sqrt{x}+\sqrt{y-2}=2\)=> \(\left(\sqrt{x}-1\right)+\left(\sqrt{y-2}-1\right)=0\)

                                                          => \(\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}+\frac{y-3}{\sqrt{y-2}+1}=0\left(1\right)\)

=>Tương tự với các PT còn lại

\(\frac{y-3}{\sqrt{y+1}+2}+\frac{z-4}{\sqrt{z-3}+1}=0\left(2\right)\)

\(\frac{z-4}{\sqrt{z+5}+3}+\frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}=0\left(3\right)\)

Ta thấy \(x=1;y=3;z=4\)là nghiệm của 3 PT

Với \(x\ne1;y\ne3;z\ne4\)

Theo nguyên lí diricle ta luôn có : 

trong 3 số x-1;y-3;z-4 luôn có 2 số cùng dấu 

=> 2 trong 3 PT trên vô nghiệm 

Vậy x=1;y=3;z=4

Ta có: \(\frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}=\frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+2ab+c^2}}\ge\frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+a^2+b^2+c^2}}=\sqrt{a^2+ab+1}\)

\(\sqrt{a^2+ab+1}=\sqrt{a^2+ab+a^2+b^2+c^2}=\sqrt{\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3}{4}b^2+a^2+c^2}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{5}}.\sqrt{\left(\frac{9}{4}+\frac{3}{4}+1+1\right)\left(\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3}{4}b^2+a^2+c^2\right)}\)

\(\ge\frac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{\left(\frac{3}{2}\left(a+\frac{b}{2}\right)+\frac{3}{2}b+a+c\right)^2}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{5}{2}a+\frac{3}{2}b+c\right)\)

=> \(\frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{5}{2}a+\frac{3}{2}b+c\right)\)

Tương tự ta cũng chứng minh đc:

 \(\frac{b^2+bc+1}{\sqrt{b^2+3bc+a^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{5}{2}b+\frac{3}{2}c+a\right)\)

\(\frac{c^2+ca+1}{\sqrt{c^2+3ca+b^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{5}{2}c+\frac{3}{2}a+b\right)\)

=> \(\frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}+\frac{b^2+bc+1}{\sqrt{b^2+3bc+a^2}}+\frac{c^2+ca+1}{\sqrt{c^3+3ca+b^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{5}}\left(5a+5b+5c\right)\)

\(=\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c =\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)