a, Ta có:  E C A ^ + O C A ^ = 90 0 và A C H ^ + O A C ^ = 90 0

mà  O A C ^ = O C A ^  (do tam giác AOC cân tại O)

Suy ra E C A ^ = A C H ^

Khi đó  E A C ^ = H A C ^  (cùng lần lượt phụ với E C A ^ và  A C H ^ ), ta có đpcm

b, Chứng minh tương tự  suy ra BC là phân giác của  F B H ^

Từ đó, chứng minh được BC vuông góc HF (1)

Tam giác ABC có trung tuyến OC = 1 2 AB. Suy ra tam giác ABC vuông tại C , tức là BC vuông góc với AC (2)

Từ (1),(2) suy ra đpcm

c, Ta có : AE+BF =2OC=2R không đổi

d, Ta có   A E . B F ≤ A E + B F 2 4 = R 2

suy ra AE.BF lớn nhất =  R 2 óAE=BF=R

Điều này xẩy ra khi C là điểm chính giữa cung AB

a) Ta có: \(\angle OAC+\angle ODC=90+90=180\Rightarrow OACD\) nội tiếp

b) Xét \(\Delta CDE\) và \(\Delta CBD:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle CDE=\angle CBD\\\angle BCDchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta CDE\sim\Delta CBD\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{CE}{CD}\Rightarrow CD^2=CB.CE\)

c) BC cắt DF tại G.BD cắt AC tại H

Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ADB=90\Rightarrow\Delta ADH\) vuông tại D

có \(CA=CD\) (CA,CD là tiếp tuyến) \(\Rightarrow\) C là trung điểm AH

Vì \(DF\parallel AH\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{GF}{AC}=\dfrac{BG}{BC}\\\dfrac{GD}{CH}=\dfrac{BG}{BC}\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{GF}{AC}=\dfrac{GD}{CH}\)

mà \(CA=CH\Rightarrow GF=GD\Rightarrow\) đpcm

Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên góc (ACB) = 90 °

Tam giác ABC vuông tại C có CH ⊥ AB

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

C H 2 = HA.HB     (3)

Xét hai tam giác ACH và ACE, ta có:

CH = CE (tính chất đường phân giác)

AC chung

Suy ra : ∆ ACH =  ∆ ACE (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: AH = AE     (4)

Xét hai tam giác BCH và BCF, ta có:

CH = CF (= CE)

BC chung

Suy ra:  ∆ BCH =  ∆ BCF (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: BH = BF     (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra:  C H 2  = AE.BF