Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC. Từ ba đỉnh của tam giác này ta kẻ các nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz không nằm trong (α). Trên Ax lấy đoạn AA' = a, trên By lấy đoạn BB' = b, trên Cz lấy đoạn CC' = c.

a) Gọi I, J và K lần lượt là các giao điểm B'C', C'A' và A'B' với (α).

Chứng minh rằng  I B I C .   J C J A . K A K B   =   1

b) Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A'B'C'.

Chứng minh: GG′ // AA′.

c) Tính GG' theo a, b, c

Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Xz và Dt sao cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) cắt bốn nửa đường thẳng theo thứ tự nói trên tại A', B', C' và D'

a) Chứng minh rằng (Ax, By) // (Cz, Dt) và (Ax, Dt) // (By, Cz)

b) Tứ giác A'B'C'D' là hình gì ?

c) Chứng minh AA' + CC' = BB' + DD'

Trên mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) cho hình vuông ABCD. Các tia Ax, By, Cz, Dt vuông góc với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) và nằm về một phía đối với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) . Một mặt phẳng \(\left(\beta\right)\) lần lượt cắt \(Ax,By,Cz,Dt\) tại A', B', C', D'.

a) Tứ giác A'B'C'D' là hình gì ? Chứng minh rằng AA' + CC'=BB'+DD'

b) Chứng minh rằng điều kiện để tứ giác A'B'C'D' là hình thoi là nó có hai đỉnh đối diện cách đều mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\)

c) Chứng minh rằng điều kiện để tứ giác A'B'C'D' là hình chữ nhật là nó có hai đỉnh kề nhau cách đều mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\)

Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz và Dt sao cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (α) cắt bốn nửa đường thẳng theo thứ tự nói trên tại A’, B’, C’ và D’.

a) Chứng minh rằng (Ax,By) // (Cz,Dt) và (Ax,Dt) // (By,Cz)

b) Tứ giác A'B'C'D' là hình gì?

c) Chứng minh AA′ + CC′ = BB′ + DD′.