c

Ta có: EB = EA, FB = FC (gt)

⇒ EF là đường trung bình của ΔABC

⇒ EF // AC và EF = AC/2.

HA = HD, HC = GD

⇒ HG là đường trung bình của ΔADC

⇒ HG // AC và HG = AC/2.

Do đó EF // HG, EF = HG

⇒ EFGH là hình bình hành.

a) Hình bình hành EFGH là hình chữ nhật ⇔ EH ⊥ EF

⇔ AC ⊥ BD (vì EH // BD, EF// AC)

b) Hình bình hành EFGH là hình thoi

⇔ EF = EH

⇔ AC = BD (Vì EF = AC/2, EH = BD/2)

c) EFGH là hình vuông

⇔ EFGH là hình thoi và EFGH là hình chữ nhật

⇔ AC = BD và AC ⊥ DB.

Chứng minh EFGH là hình bình hành. Để EFGH là hình chữ nhật thì

Þ H E F ^ = 90 0 ⇒ H E ⊥   E F  

Þ AC ^BD.

* Ta có EF là đường trung bình của ∆ ABC

Suy ra: EF //AC và EF = 1/2 AC (1)

* Trong  ∆ ADC có HG là đường trung bình

Suy ra: HG // AC và HG = 1/2 AC (2)

Từ (l) và (2) suy ra EF // HG và EF = HG

Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành.

Tứ giác EFGH là hình chữ nhật ⇔ EH ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD

Ta có : HE, GF lần lượt là đường trung bình của tam giác ADB và tam giác CDB

=> HE // BD, GF // BD và BD = 2HE = 2GF

Tương tự : HG, EF lần lượt là đường trung bình của tam giác DAC và tam giác BAC

=> HG // AC, EF // AC và AC = 2HG = 2EF

Nên EFGH là hình bình hành.

a) Đề hình bình hành EFGH là hình chữ nhật thì EH ⊥ EF => BD ⊥ AC

Điều kiện phải tìm : Hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau.

b) Để hình bình hành EFGH là hình thoi thì EH = EF => BD = AC

Điều kiện phải tìm : Hai đường chéo AC và BD bằng nhau.

c) Để hình bình hành EFGH là hình vuông thì EFGH phải vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi => BD ⊥ AC và BD = AC.

Điều kiện phải tìm : Hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau và bằng nhau.

* Ta có EF là đường trung bình của  ∆ ABC

Suy ra: EF //AC và EF = 1/2 AC (1)

* Trong  ∆ ADC có HG là đường trung bình

Suy ra: HG // AC và HG = 1/2 AC (2)

Từ (l) và (2) suy ra EF // HG và EF = HG

Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành.

Tứ giác EFGH là hình thoi ⇔ EH = EF ⇔ AC = BD

E, F lần lượt là trung điểm của AB và BC (gt)

\(\Rightarrow\) EF là đường trung bình của tam giác ABC

\(\Rightarrow\) EF // AC và EF = \(\frac{1}{2}\) AC (1)

H, G lần lượt là trung điểm của AD và DC (gt)

\(\Rightarrow\) HG là đường trung bình của tam giác ACD

\(\Rightarrow\) HG // AC và HG = \(\frac{1}{2}\) AC (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) EF // HG và EF = HG

\(\Rightarrow\) Tứ giác EFGH là hình bình hành

Tứ giác EFGH là hình bình hành. EF // AC, EF = \(\frac{1}{2}\) AC 

Ta còn có EH là đường trung bình của tam giác ABD

\(\Rightarrow\) EH // BD và EH = \(\frac{1}{2}\) BD

- Tứ giác EFGH là hình chữ nhật

\(\Leftrightarrow\) Hình bình hành EFGH có: 

\(\widehat{HEF}=90^o\)

\(\Leftrightarrow HE\perp EF\)

\(\Leftrightarrow EH\perp AC\)

\(\Leftrightarrow AC\perp BD\)

Vậy tứ giác ABCD cần thêm điều kiện hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau thì tứ giác EFGH là hình chữ nhật

- Tứ giác EFGH là hình thoi

\(\Leftrightarrow\) Hình bình hành EFGH có: EF = EH \(\Leftrightarrow\) AC = BD

Vậy tứ giác ABCD cần thêm điều kiện hai đường chéo AC và BD bằng nhau thì tứ giác EFGH là hình thoi

- Tứ giác EFGH là hình vuông

\(\Leftrightarrow\) Hình chữ nhật EFGH có: EF = EH \(\Leftrightarrow\) AC = BD

Vậy tứ giác ABCD cần thêm điều kiện hai đường chéo AC và BD vuông góc và bằng nhau thì tứ giác EFGH là hình vuông