Gọi giao điểm các đường phân giác của các góc: A, B, C, D theo thứ tự cắt nhau tại E, H, F, G.

* Trong ∆ ADG , ta có:

∠ (GAD) = 45 0 ;  ∠ (GDA) =  45 0  (gt)

Suy ra:  ∠ (AGD) =  180 0 -  ∠ (GAD) -  ∠ (GDA) =  90 0

⇒  ∆ GAD vuông cân tại G.

⇒ GD = GA

Trong  ∆ BHC, ta có:

∠ (HBC) =  45 0 ;  ∠ (HCB) =  45 0  (gt)

Suy ra:  ∠ (BHC) =  180 0  -  ∠ (HBC) -  ∠ (HCB) = 90 0

⇒  ∆ HBC vuông cân tại H.

⇒ HB = HC

* Trong ΔFDC, ta có:  ∠ D 1  =  45 0 ; ∠ C 1 =  45 0  (gt)

Suy ra:  ∠ F =  180 0 - D1 - C1 =  90 0

⇒  ∆ FDC vuông cân tại F ⇒ FD = FC

Nên tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).

Xét  ∆ GAD và  ∆ HBC,ta có:  ∠ (GAD) =  ∠ (HBC) =  45 0

AD = BC (tính chất hình chữ nhật)

∠ (GDA) =  ∠ (HCB) =  45 0

Suy ra:  ∆ GAD =  ∆ HBC ( g.c.g)

Do đó, GD = HC .

Lại có: FD = FC (chứng minh trên)

Suy ra: FG = FH

Vậy hình chữ nhật EFGH có hai cạnh kề bằng nhau nên nó là hình vuông.

Gọi G, H, E, F lần lượt là giao điểm của các đường phân giác của ∠ A và  ∠ B;  ∠ B và ∠ C;  ∠ C và  ∠ D;  ∠ D và  ∠ A

Ta có:  ∠ (ADF) = 1/2  ∠ (ADC) (gt)

∠ (DAF) = 1/2  ∠ (DAB) (gt)

∠ (ADC) +  ∠ (DAB) = 180 0  (hai góc trong cùng phía)

Suy ra:  ∠ (ADF) +  ∠ (DAF) = 1/2 ( ∠ (ADC) +  ∠ (DAB) ) = 1/2 . 180 0 =  90 0

Trong ∆ AFD, ta có:

∠ (AFD) =  180 0  – ( ∠ (ADF) +  ∠ (DAF)) =  180 0  –  90 0  =  90 0

∠ (EFG) =  ∠ (AFD) (đối đỉnh)

⇒  ∠ (EFG) =  90 0

∠ (GAB) = 1/2  ∠ (DAB) (gt)

∠ (GBA) = 1/2  ∠ (CBA) (gt)

∠ (DAB) +  ∠ (CBA) =  180 0 (hai góc trong cùng phía)

⇒  ∠ (GAB) +  ∠ (GBA) = 1/2 ( ∠ (DAB) +  ∠ (CBA) ) = 1/2 . 180 0 =  90 0

Trong ΔAGB ta có:  ∠ (AGB) =  180 0  – ( ∠ (GAB) +  ∠ (GBA) ) =  180 0  -  90 0 =  90 0

Hay  ∠ G =  90 0

∠ (EDC) = 1/2  ∠ (ADC) (gt)

∠ (ECD) = 1/2  ∠ (BCD) (gt)

∠ (ADC) +  ∠ (BCD) =  180 0  (hai góc trong cùng phía)

⇒  ∠ (EDC) +  ∠ (ECD) = 1/2 (∠ ∠ ADC) +  ∠ (BCD) ) = 1/2 . 180 0  =  90 0

Trong ΔEDC ta có:  ∠ (DEC) =  180 0  – ( ∠ (EDC) +  ∠ (ECD) ) =  180 0  -  90 0  =  90 0

Hay  ∠ E =  90 0

Vậy tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông).