Gọi giao điểm các đường phân giác của các góc: A, B, C, D theo thứ tự cắt nhau tại E, H, F, G.
* Trong ∆ ADG , ta có:
∠ (GAD) = 45 0 ; ∠ (GDA) = 45 0 (gt)
Suy ra: ∠ (AGD) = 180 0 - ∠ (GAD) - ∠ (GDA) = 90 0
⇒ ∆ GAD vuông cân tại G.
⇒ GD = GA
Trong ∆ BHC, ta có:
∠ (HBC) = 45 0 ; ∠ (HCB) = 45 0 (gt)
Suy ra: ∠ (BHC) = 180 0 - ∠ (HBC) - ∠ (HCB) = 90 0
⇒ ∆ HBC vuông cân tại H.
⇒ HB = HC
* Trong ΔFDC, ta có: ∠ D 1 = 45 0 ; ∠ C 1 = 45 0 (gt)
Suy ra: ∠ F = 180 0 - D1 - C1 = 90 0
⇒ ∆ FDC vuông cân tại F ⇒ FD = FC
Nên tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).
Xét ∆ GAD và ∆ HBC,ta có: ∠ (GAD) = ∠ (HBC) = 45 0
AD = BC (tính chất hình chữ nhật)
∠ (GDA) = ∠ (HCB) = 45 0
Suy ra: ∆ GAD = ∆ HBC ( g.c.g)
Do đó, GD = HC .
Lại có: FD = FC (chứng minh trên)
Suy ra: FG = FH
Vậy hình chữ nhật EFGH có hai cạnh kề bằng nhau nên nó là hình vuông.