Kẻ OI ⊥ AE, O’K ⊥ AF

Trong đường tròn (O), ta có:

IA = IE = (1/2).AE (đường kính vuông góc với dây cung)

Trong đường tròn (O’), ta có:

KA = KF = (1/2).AF (đường kính vuông góc với dây cung)

Ta có: EF = AE = AF

Suy ra: EF = 2IA = 2AK = 2(IA + AK) = 2IK   (1)

Kẻ O’H ⊥ OI

Khi đó tứ giác IHO’K là hình chữ nhật (có ba góc vuông)

Suy ra: O’H = IK

Trong tam giác OHO’ ta có: O’H  ≤  OO’ = 3 (cm)

Suy ra: IK  ≤  OO’   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF ≤ 2OO’ = 6 (cm)

Ta có EF = 6cm khi H và O trùng nhau hay EF // OO’

Vậy EF có độ dài lớn nhất bằng 6cm khi và chỉ khi EF // OO’

a. b.

c. - Đường tròn (O’; 1cm) có đường kính là: EF; Các dây cung là: EA, EB, AB, FA, FB

Vì E thuộc (O’; 1cm) nên EO’=1cm; EF=2.EO’=2cm

- Đường tròn (O; 1,5cm) có đường kính là: DC; Các dây cung là: DA, DB, AB, AC, CB

Vì C thuộc (O; 1,5cm) nên CO=1,5cm; DC=2.CO=3cm

d. Vì đường tròn (O’; 1cm) cắt đoạn thẳng OO’ tại E, nên E nằm giữa 2 điểm O và O’.

Ta có: O E + E O ' = O O ' ⇒ O E = 1 c m  

Mà EO’=1cm, nên OE=EO’ (=1cm)

Do đó: E là trung điểm của đợn thẳng OO’.

e. Vì đường tròn (O; 1cm) cắt đường thẳng OO’ tại D, đường tròn (O’; 1cm) cắt đường thẳng OO’ tại F, nên 4 điểm D, O, O’, F lần lượt theo thứ tự đó và DO=1,5cm; O’F=1cm.

Ta có: D F = D O + O O ' + O ' F = 1 , 5 + 2 + 1 = 4 , 5 c m .

Vậy DF=4,5cm

Xét tứ giác ACDB có A,C,D,B cùng nằm trên (O)

nên ACDB là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{CAB}+\widehat{CDB}=180^0\)

mà \(\widehat{CAB}+\widehat{MAC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{MAC}=\widehat{CDB}=\widehat{MDB}\)

Xét tứ giác AEFB có A,E,F,B cùng nằm trên (O')

nên AEFB là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{BAE}+\widehat{BFE}=180^0\)

mà \(\widehat{BAE}+\widehat{MAE}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{MAE}=\widehat{MFB}\)

Xét ΔMCA và ΔMBD có

\(\widehat{MAC}=\widehat{MDB}\)

\(\widehat{M}\) chung

Do đó: ΔMCA đồng dạng với ΔMBD

=>\(\dfrac{MC}{MB}=\dfrac{MA}{MD}\)

=>\(MC\cdot MD=MA\cdot MB\)(1)

Xét ΔMAE và ΔMFB có

\(\widehat{MAE}=\widehat{MFB}\)

\(\widehat{M}\) chung

Do đó: ΔMAE đồng dạng với ΔMFB

=>\(\dfrac{MA}{MF}=\dfrac{ME}{MB}\)

=>\(MA\cdot MB=MF\cdot ME\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(MC\cdot MD=ME\cdot MF\)

=>\(\dfrac{MC}{MF}=\dfrac{ME}{MD}\)

Xét ΔMCE và ΔMFD có

\(\dfrac{MC}{MF}=\dfrac{ME}{MD}\)

\(\widehat{CME}\) chung

Do đó: ΔMCE đồng dạng với ΔMFD

=>\(\widehat{MCE}=\widehat{MFD}\)

mà \(\widehat{MCE}+\widehat{DCE}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{MFD}+\widehat{DCE}=180^0\)

=>CDFE là tứ giác nội tiếp

a)  Do DF // AC nên \(\widehat{MAG}=\widehat{GFD}\)  (Hai góc so le trong) . 

Lại có \(\widehat{GFD}=\widehat{GED}\)   (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung GD)

Nên \(\widehat{MAG}=\widehat{GED}\)

Xét tam giác AMG và tam giác EMA có:

\(\widehat{MAG}=\widehat{MEA}\) (cmt)

Góc M chung

Vậy nên \(\Delta AMG\sim\Delta EMA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{MA}{ME}=\frac{MG}{MA}\Rightarrow MA^2=MG.ME\) 

b) Do tứ giác ECBG nội tiếp nên \(\widehat{BCE}=\widehat{BGM}\) (Góc ngoài tại đỉnh đối của tứ giác nội tiếp)

Vậy xét tam giác MGB và MCE có:

\(\widehat{BGM}=\widehat{ECM}\left(cmt\right)\)

Góc M chung

Vậy nên \(\Delta MGB\sim\Delta MCE\left(g-g\right)\)

c) Theo câu a, ta có \(AM^2=MG.ME\)

Theo câu b, \(\Delta MGB\sim\Delta MCE\Rightarrow\frac{MG}{MC}=\frac{MB}{ME}\Rightarrow MG.ME=MB.MC\)

Vậy nên \(MA^2=MB.MC\)

Suy ra \(MA^2+MA.MC=MB.MC+MA.MC\)

\(\Leftrightarrow MA\left(MA+MC\right)=MC\left(MB+MA\right)\)

\(\Leftrightarrow MA.AC=MC.AB\)

\(\Leftrightarrow AB\left(AC-AM\right)=MA.AC\)

\(\Leftrightarrow AB.AC-AB.AM=AM.AC\)

\(\Leftrightarrow AB.AC=AM\left(AB+AC\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AM}=\frac{AB+AC}{AB.AC}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AM}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\left(đpcm\right)\)

ko biet