Giải:

Đặt \(z=a+bi\) với $a,b$ là các số thực

Ta có:

\(|z-i|=|(1+i)z|\Leftrightarrow |a+i(b-1)|=|z||1+i|=|a+bi|\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow a^2+(b-1)^2=2(a^2+b^2)\)

\(\Leftrightarrow a^2+(b+1)^2=2\)

Vậy tập hợp biểu diễn số phức $z$ nằm trên đường tròn tâm \((0,-1)\) bán kính \(R=\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(1-2i\right)z-\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}i\right)=\left(3-i\right)z\)

\(\Leftrightarrow\left(1-2i\right)z-\left(3-i\right)z=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}i\)

\(\Leftrightarrow\left(-2-i\right)z=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}i\)

\(\Rightarrow z=\dfrac{1-3i}{2\left(-2-i\right)}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{7}{10}i\)

\(\Rightarrow A\left(\dfrac{1}{10};\dfrac{7}{10}\right)\) \(\Rightarrow\) tọa độ trung điểm I là \(\left(\dfrac{1}{20};\dfrac{7}{20}\right)\)

Giả sử z = x + yi, (x,y ε R), khi đó trên mặt phẳng toạ độ Oxy, điểm M(x;y) biểu diễn số phức z.

a) Ta có |z| = 1 ⇔ = 1 ⇔ x² + y² = 1.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tam O, bán kính bằng 1

b) Ta có |z| ≤ 1 ⇔ ≤ 1 ⇔ x² + y² ≤ 1.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm O, bán kính bằng 1 (kể cả các điểm trên đường tròn) (hình b)

c) Ta có 1 < |z| ≤ 2 ⇔ 1 < ≤ 2 ⇔ 1 < x² + y² ≤ 4.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là phần nằm giữa đường tròn tâm O, bán kính bằng 1 (không kể điểm trên đường tròn này) và đường tròn tâm O, bán kính bằng 2 (kể cả các điểm trên đường tròn này)

d) Ta có |z| = 1 ⇔ = 1 ⇔ x² + y² = 1 và phần ảo của z bằng 1 tức y = 1. Suy ra x = 0 và y = 1

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là điểm A(0;1)

Giải:

Đặt \(z=a+bi\) với $a,b$ là các số thực

Ta có:

\(|z-3+4i|=2\Leftrightarrow |(a-3)+i(b+4)|=2\)

\(\Leftrightarrow (a-3)^2+(b+4)^2=4\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ nằm trên đường tròn tâm \((3;-4)\) bán kính \(R=2\)

Đó là những điểm nằm phía trong hình tròn bán kính bằng 3 và phía ngoài (kể cả biên) hình tròn bán kính bằng 2 có cùng tâm là điểm biểu diễn số phức z 0  = 1 – 2i , tức là những điểm nằm trong hình vành khăn kể cả biên trong. Đó là những điểm (x; y) trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện: 4  ≤   x - 1 2 + y + 2 2  < 9

\(z=x+yi\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2=x^2+y^2\)

\(\Rightarrow x+y+1=0\Rightarrow\) tập hợp z là đường thẳng d: \(x+y+1=0\)

\(P=\left|\left(z-4-5i\right)-\left(w-3-4i\right)\right|\ge\left|\left|z-4-5i\right|-\left|w-3-4i\right|\right|=\left|\left|z-4-5i\right|-1\right|\)

Gọi M là điểm biểu diễn z và \(A\left(4;5\right)\Rightarrow\left|z-4-5i\right|=AM\)

\(AM_{min}=d\left(A;d\right)=\dfrac{\left|4+5+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=5\sqrt{2}\) 

\(\Rightarrow P\ge\left|5\sqrt{2}-1\right|=5\sqrt{2}-1\)