a) Đặt S_n = n³ + 3n² + 5n

Với n = 1 thì S₁ = 9 chia hết cho 3

Giả sử với n = k ≥ 1, ta có S_k = (k³ + 3k² + 5k)  3

Ta phải chứng minh rằng S_k+1  3

Thật vậy S_k+1 = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1) 

                        = k³  + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5 

                         = k³ + 3k² + 5k + 3k² + 9k + 9

 hay S_k+1 = S_k + 3(k² + 3k + 3)

Theo giả thiết quy nạp thì S_k   3, mặt khác 3(k² + 3k + 3)  3 nên S_k+1  3.

Vậy (n³ + 3n² + 5n)  3 với mọi n ε N^{*  .}

b) Đặt S_n = 4ⁿ + 15n - 1 

Với n = 1, S₁ = 4¹ + 15.1 – 1 = 18 nên S₁   9

Giả sử với n = k ≥ 1 thì S_k= 4^k + 15k - 1 chia hết cho 9.

Ta phải chứng minh S_k+1  9.

Thật vậy, ta có: S_k+1 = 4^{k + 1} + 15(k + 1) – 1

                                    = 4(4^k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4S_k – 9(5k – 2)    

Theo giả thiết quy nạp thì  Sk   9  nên 4S₁   9, mặt khác 9(5k - 2)   9, nên S_k+1  9

Vậy (4ⁿ + 15n - 1)  9 với mọi n ε N^*  

a) Đặt S_n = n³ + 3n² + 5n

Với n = 1 thì S₁ = 9 chia hết cho 3

Giả sử với n = k ≥ 1, ta có S_k = (k³ + 3k² + 5k)  3

Ta phải chứng minh rằng S_k+1  3

Thật vậy S_k+1 = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1) 

                        = k³  + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5 

                         = k³ + 3k² + 5k + 3k² + 9k + 9

 hay S_k+1 = S_k + 3(k² + 3k + 3)

Theo giả thiết quy nạp thì S_k   3, mặt khác 3(k² + 3k + 3)  3 nên S_k+1  3.

Vậy (n³ + 3n² + 5n)  3 với mọi n ε N^{*  .}

b) Đặt S_n = 4ⁿ + 15n - 1 

Với n = 1, S₁ = 4¹ + 15.1 – 1 = 18 nên S₁   9

Giả sử với n = k ≥ 1 thì S_k= 4^k + 15k - 1 chia hết cho 9.

Ta phải chứng minh S_k+1  9.

Thật vậy, ta có: S_k+1 = 4^{k + 1} + 15(k + 1) – 1

                                    = 4(4^k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4S_k – 9(5k – 2)    

Theo giả thiết quy nạp thì  Sk   9  nên 4S₁   9, mặt khác 9(5k - 2)   9, nên S_k+1  9

Vậy (4ⁿ + 15n - 1)  9 với mọi n ε N^*  

c) Đặt S_n = n³ + 11n

Với n = 1, ta có S₁ = 1³ + 11n = 12 nên S₁  6

Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có S_k = k³ + 11k  6

Ta phải chứng minh S_k+1  6

Thật vậy, ta có S_k+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) =  k³ + 3k + 3k + 1 + 11k + 11           

                                  = ( k³ + 11k) + 3(k² + k + 4) = S_k + 3(k² + k + 4) 

THeo giả thiết quy nạp thì  Sk  6, mặt khác k² + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k² + k + 4)  6, do đó S_k+1  6

Vậy n³ + 11n chia hết cho 6 với mọi n ε N^{* .}

a)Đặt \(E_n=n^3+3n^2+5n\)

\(E_k=k^3+3k^2+5k\) chia hết 3 (giả thiết quy nạp)

E_k+1=(k+1)³+3(k+1)²+5(k+1) chia hết 3

Thật vậy:

E_k+1=(k+1)³+3(k+1)²+5(k+1)

       =k³+3k²+5k+3k²+9k+9=E_k+3(k²+3k+3)

Theo giả thiết quy nạp thì E_k chia hết 3

ngoài ra 3(k²+3k+3) chia hết 3 nên E_k chia hết 3

=>E_k chia hết 3 với mọi \(n\in N\)*

c) n^3-n+12n

= n(n^2-1)+12n

n(n-1)(n+1)+12n

Ta thấy 3 số tự nhiên liên tiếp (n-1)n(n+1) ít nhất có 1 số chia hết cho 2, và ít nhất có 1 số chia hết cho 3, suy ra tích chia hết cho 6 mà 12n =6x2n chia hết cho 6 suy ra điều phải chứng minh

a) Với n = 1, ta có:

13ⁿ – 1 = 13¹ – 1 = 12 ⋮ 6

Giả sử: 13^k - 1 ⋮ 6 với mọi k ≥ 1

Ta chứng minh: 13^k+1 – 1 chia hết cho 6

Thật vậy:

13^k+1 – 1 = 13^k+1 – 13^k+ 13^k -1 = 12.13^k +13^k – 1

Vì : 12.13^k ⋮ 6 và 13^k – 1 ⋮ 6

Nên : 13^k+1 – 1 ⋮ 6

Vậy 13ⁿ -1 chia hết cho 6

b) Với n = 1, ta có: 3n³ + 15n = 18 ⋮ 9

Giả sử: 3(k + 1)³ + 15(k + 1) Ta chứng minh: 3(k + 1)³ + 15(k + 1) ⋮ 9

Thật vậy:

3(k + 1)³ + 15(k + 1) = 3. (k³ + 3k² + 3k + 1) + 15(k + 1)

= 3k³ + 9k² + 9k + 15k + 18

= 3k³ + 15k + 9(k² + k + 2)

Vì 3(k + 1)³ + 15(k + 1) (giả thiết quy nạp) và 9(k² + k + 2) ⋮ 9

Nên: 3(k + 1)³ + 15(k + 1) ⋮ 9

Vậy: 3n³ + 15n chia hết cho 9 với mọi n ∈ N^*

có biết đâu mà giúp, mong bạn thông cảm cho. Nhớ tick cho mình với

Phân tích nhân tử nhầm=>giải lại

\(A=2n^2-3n^2+n=n\left(2n^2-3n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(2n+1\right)\)\(A=n\left(n-1\right)\left(2n+2-3\right)=\left[2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]-3\left(n\right)\left(n-1\right)=2B-3C\)

\(\left\{{}\begin{matrix}B⋮3\\C⋮2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2B⋮6\\3C⋮3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A⋮6\) => dpcm

Lời giải:

\(A=n\left(2n^3-3n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(2n^2+2n-1\right)\)

\(A=n\left(n-1\right)\left[2n\left(n+1\right)-1\right]=2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+n\left(n-1\right)=B-C\)\(\left\{{}\begin{matrix}B⋮2\\B⋮3\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow B⋮6\forall n\in N\)

\(C=n\left(n-1\right)\) không thể chia hết cho 6 với mọi n thuộc N

\(\Rightarrow A\) chỉ chia hết cho 6 với điều kiện \(n\ne3k+2\)

ví dụ đơn giải với k=0 => n= 2

\(A=2.2^3-3.2^2+2=14⋮̸6\)

Kết luận đề sai

1: \(\Leftrightarrow3n^3+n^2+9n^2+3n-3n-1-4⋮3n+1\)

\(\Leftrightarrow3n+1\in\left\{1;4;2;-2;-1;-4\right\}\)

\(\Leftrightarrow3n\in\left\{0;3;-3\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;1;-1\right\}\)

Bài 5: 

b: Ta có: \(n+6⋮n+2\)

\(\Leftrightarrow n+2\in\left\{2;4\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;2\right\}\)

c: Ta có: \(3n+1⋮n-2\)

\(\Leftrightarrow n-2\in\left\{-1;1;7\right\}\)

hay \(n\in\left\{1;3;9\right\}\)

a n.n.n+5n chia het cho 6

a, n^3 +5n

= n^3 -n+ 6n

= n(n^2-1)+ 6n

=n(n-1)(n+1) +6n

Vì n(n-1)(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên n(n-1)(n+1) chia hết cho 6

Mặt khác, 6n chia hết cho 6.

Suy ra: n(n-1)(n+1) +6n chia hết cho 6

Vậy n^3 + 5n chia hết cho 6

b, n^3 *19n ko chia hết cho 6 được.Bạn nên xem lại đề bài xem có đúng ko.

c, 5n^3 + 15n^2 +10n

= 5n(n^2 +3n+2)

= 5n(n+1)(n+2)

n(n+1)(n+2) chia hết cho 6 nên 5n^3 +15n^2 +10n chia hết cho 6

Chúc bạn học tốt.