Cho a,b,c thỏa mãn:a+b+c=0, Chứng minh rằng :ab+2bc+3ca\(\le0\)
Những câu hỏi liên quan
cho a; ; b; c thỏa mãn a+ b + c = 0 . Chứng minh rằng : ab + 2bc + 3ca < 0
Cho a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng Minh rằng : ab + 2bc + 3ca < hoặc= 0
vì a+b+c=0 nên a,b,c lớn nhất chỉ có thể bằng ko,nên ab+2bc+3ca chỉ có thể < hoặc bằng 0
Đúng 0
Bình luận (0)
với a,b,c là các số thực thỏa mãn a^3+b^3+c^3=4abc và ab+2bc+3ca=0, chứng minh rằng a=b=c=0
Cho 3 số a,b,c thỏa mãn a+b+c=0 . Chứng minh rằng ab + 2bc + 3ac \(\le0\)
Giải:
Ta có: a + b + c = 0 nên suy ra: b = – (a + c) thay vào biểu thức:
ab + 2bc + 3ca = -a.(a + c) – 2c.(a + c) + 3ac = -a² – ac – 2ac – 2c² + 3ac = – (a² + 2c²) ≤ 0 (đpcm).
Đúng 0
Bình luận (0)
Trả lời
Theo đề ra ta có:
a+b+c=0
\(\Rightarrow\)ab+2ab+3ac=-a(a+c)-2c(a+c)+3ac
=\(-a^2-ac-2ac-2ac^2+3ac\)
\(=-\left(a^2+2c^2\right)\le0\)
Vậy nếu a+b+c=0 thì \(ab+2bc+3ac\le0\left(đpcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Ta có : a + b + c = 0
\( \implies\) b + c = - a ; a + b = - c
Ta có : ab + 2bc + 3ca
= ab + 2bc + ca + 2ca
= ( ab + ca ) + ( 2bc + 2ca )
= a ( b + c ) + 2c ( a + b )
= a ( - a ) + 2c ( - c )
= - a2 - 2c2
= - ( a2 + 2c2 ) ( * )
Mà : a2 \(\geq\) 0 ; 2c2 \(\geq\) 0
\( \implies\) a2 + 2c2 \(\geq\) 0 ( ** )
Từ ( * ) ; ( ** )
\( \implies\) - ( a2 + 2c2 ) \(\leq\) 0
\( \implies\) ab + 2bc + 3ca \(\leq\) 0
với a,b,c là các số thực thỏa mãn a^3+b^3+c^3=4abc và ab+2bc+3ca=0, chứng minh rằng a=b=c=0
Cho \(a;b;c\) thỏa mãn \(a+b+c=0\) chứng minh rằng: \(ab+2bc+3ac\le0\)
\(ab+2bc+3ac\\ =\left(ab+ac\right)+\left(2bc+2ac\right)\\ =a\left(b+c\right)+2c\left(a+b\right)\\ =a.\left(-a\right)+2c\left(-c\right)\\ =-a^2-2c^2\\ =-\left(a^2+2c^2\right)\le0\)
Đúng 0
Bình luận (2)
Cho a+b+c=0
Chứng minh rằng: \(\)ab+ 2bc+ 3ca \(\le\)0
\(ab+2bc+3ac\)
\(=ab+2bc+ac+2ac\)
\(=a\left(b+c\right)+2c\left(a+b\right)\)
\(=-a^2-2b^2\le0\) (đúng)
Dấu "=" khi \(x=y=z=0\)
Đúng 0
Bình luận (2)
Ta có:
a+b+c=0
=> a + b = -c
=> (a+b)2 = c2
=> a2 + 2ab + b2 = c2
=> ab = \(\dfrac{c^2-a^2-b^2}{2}\) (1)
Tương tự ta có: a2 + 2ac + c2 = b2
b2 + 2bc + c2 = a2
=> ac = \(\dfrac{b^2-a^2-c^2}{2}\) => 3ac = \(\dfrac{3b^2-3a^2-3c^2}{2}\) (2)
bc = \(\dfrac{a^2-b^2-c^2}{2}\) => 2bc = a2 - b2 - c2 (3)
Thay (1), (2), (3) vào bdt cần ch/m, ta có:
ab + 2bc + 3ac ≤ 0
<=> \(\dfrac{c^2-a^2-b^2}{2}\) + a2 - b2 - c2 + \(\dfrac{3b^2-3a^2-3c^2}{2}\)
<=> c2 - a2 - b2 + 2a2 - 2b2 - 2c2 + 3b2 - 3a2 - 3c2 ≤ 0
<=> -2a2 -4c2 ≤ 0
<=> -2(a2 + 2c2) ≤ 0 (Bdt đúng với mọi a, c)
Dau "=" xay ra khi a2 + 2c2 = 0
<=> a = c = b = 0.
Đúng 0
Bình luận (0)
cho A,B,C thỏa mãn a+b+c=0
cmr ab+2bc+3ca bé hơn hoạc bằng 0
Ta có : a + b + c = 0
\( \implies\) b + c = - a ; a + b = - c
Ta có : ab + 2bc + 3ca
= ab + 2bc + ca + 2ca
= ( ab + ca ) + ( 2bc + 2ca )
= a ( b + c ) + 2c ( a + b )
= a ( - a ) + 2c ( - c )
= - a2 - 2c2
= - ( a2 + 2c2 ) ( * )
Mà : a2 \(\geq\) 0 ; 2c2 \(\geq\) 0
\( \implies\) a2 + 2c2 \(\geq\) 0 ( ** )
Từ ( * ) ; ( ** )
\( \implies\) - ( a2 + 2c2 ) \(\leq\) 0
\( \implies\) ab + 2bc + 3ca \(\leq\) 0
Cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=0
CMR: ab+2bc+3ca\(\le\)0
\(ab+2bc+3ac\)
\(=\left(ab+ac\right)+\left(2bc+2ac\right)\)
\(=a\left(b+c\right)+2c\left(a+b\right)\)
\(=-a^2-2c^2\le0\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Ta có : a + b + c = 0
\( \implies\) b + c = - a ; a + b = - c
Ta có : ab + 2bc + 3ca
= ab + 2bc + ca + 2ca
= ( ab + ca ) + ( 2bc + 2ca )
= a ( b + c ) + 2c ( a + b )
= a ( - a ) + 2c ( - c )
= - a2 - 2c2
= - ( a2 + 2c2 ) ( * )
Mà : a2 \(\geq\) 0 ; 2c2 \(\geq\) 0
\( \implies\) a2 + 2c2 \(\geq\) 0 ( ** )
Từ ( * ) ; ( ** )
\( \implies\) - ( a2 + 2c2 ) \(\leq\) 0
\( \implies\) ab + 2bc + 3ca \(\leq\) 0