cho đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh AB,AC,BC lần lượt tại H,Q,K. Từ H vẽ đường thẳng song song với cạnh BC cắt AK tại M. Trên tia đối của tia MH lấy điểm F sao cho M là trung điểm của HF. Chứng minh K,F,Q thẳng hàng
Cho đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với 3 cạnh BC,CA,AB tại D,E,F. Qua E vẽ đường thẳng song song với BC cắt AD,DF lần lượt tại M,N. CM M là Trung điểm của EN
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (o) đường kính BC . Vẽ dây cung AD của (o) vuông góc với đường kính BC tại H . Gọi M là trung điểm cạnh OC và I là trung điểm cạnh AC . từ M vẽ đường thẳng vuông góc với OC , đường thẳng này cắt tia OI tại N . Trên tia ON lấy điểm S sao cho N là trung điểm cạnh OS
a) c/m tam giác ABC vuông tại A và HA = HD
b) c/m : MN // SC và SC là tiếp tuyến của đường tròn (o)
c) gọi K là trung điểm cạnh HC , vẽ đường tròng đường kính AH cắt cạnh AK tại F . C/m BH . HC = AF . AK
d) Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho B là trung điểm cạnh AE . C/m ba điểm E,H,F thẳng hàng
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC. Vẽ dây cung AB của (O) vuông góc với đường kính BC tại H . Gọi M là trung điểm cạnh OC và I (i nha mng ) là trung điểm cạnh AC . Từ M vẽ đường vuông góc với OC , đường thẳng này cắt OI tại N. Trên tia ON lấy điểm S sao cho N là trung điểm cạnh OS. Chứng Minh :
a) Tam giác ABC vuông tại A và AH=HD
b) MN song song SC và SC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
c) Gọi K là trung điểm cạnh HC vẽ đường tròn đường kính AH cắt AK tại F .Chứng minh BH . HC = AF . AK
d) Trên tia đối của BA lấy điểm E sao cho B là trung điểm cạnh BE . Chứng minh E H F thẳng hàng
Mng làm nguyên câu cuối cũng được nha :3
haizzz , vì mới lớp 8 nên mình chỉ làm được đến câu c, thôi , bạn thông cảm
a, Xét tam giác ABC vuông tại A và HA = HD
- Có \(\widehat{BAC}\)là góc nội tiếp đường tròn O chắn cung BC
- Mà BC là đường kính O
=> \(\widehat{BAC}=90^o\)
=> \(\Delta ABC\perp A\)
Xét \(\Delta OAD\)cân tại O ( Vì OA = OD do A , D cung thuộc O )
- Có AH là đường cao
=> OH là đường trung tuyến \(\Delta OAD\)
=> H là trug điểm AD
=> HA = HD
b, MN // SC , SC tiếp tuyến của (O)
Xét tam giác OSC có : M là trung điểm của OC
N là trung điểm của OS
=> MN là đường TB của \(\Delta OSC\)
=> MN // SC
Mà \(MN\perp OC\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow OC\perp SC\)tại S
- Xét đường tròn O có CO là bán kính ( vì \(C\in\left(O\right)\)
\(CO\perp SC\)tại C
=> SC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
c, BH . HC = AF . AK
Xét \(\Delta ABC\perp A\)có :
AH là đường cao
=> AH2 = BH . HC
Xét đường tròn đường kính AH có F thuộc đường tròn
\(\Rightarrow\widehat{AFH}=90^o\)
\(\Rightarrow HF\perp AK\)tại F
Xét tam giác AHK vuông tại H , ta có :
HF là đường cao
=> AH2 = AF . AK
=> BH . HC = AF . AK ( = AH2 )
1, Cho tam giác ABC , M, N lần lượt là trung điểm của AB , AC
a, Tứ giác BMNC là hình gì ?
b, Gọi I là trung điểm của MN , đường thẳng AI cắt BC tại K . Tứ giác AMKN là hình gì ? Vì sao ?
c, Tam giác ABC cần điều kiện gì để AMKN là hình thoi .
d, Vói điều kiện trên của tam giác ABC . Vẽ KH vuông góc với AC tại H . Đường thẳng KH cắt MN tại E . Chứng minh tam giác AME vuông
2, Cho tam giác ABC cân tai A lấy điểm M trên cạnh AB . Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E
a, Chứng minh tam giác BME cân
b, Trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho CN = BM . Tứ giác MCNE là hình gì ?
c, Gọi I là trung điểm của CE . Chứng minh M,N,I thẳng hàng
d, Từ M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại F . Từ N kẻ đường thẳng song song với BC cắt Me tại K . Chứng minh F,I,K thẳng hàng
Bài 1:
a: Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB
N là trung điểm của AC
Do đó: MN là đường trung bình
=>MN//BC
hay BMNC là hình thang
b: Xét ΔABK có MI//BK
nên MI/BK=AM/AB=1/2(1)
XétΔACK có NI//CK
nên NI/CK=AN/AC=1/2(2)
Từ (1)và (2) suy ra MI/BK=NI/CK
mà MI=NI
nên BK=CK
hay K là trug điểm của BC
Xét ΔABC có
K là trung điểm của BC
M là trung điểm của AB
Do đó: KM là đường trung bình
=>KM//AN và KM=AN
hay AMKN là hình bình hành
Một số bài toán hay về tâm nội tiếp:
Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp (O), hai điểm K,L di chuyển trên (O) (K thuộc cung AB không chứa C, L thuộc cung AC không chứa B) thỏa mãn KL song song với BC. Gọi U và V lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác AKB,ALC. Chứng minh rằng tâm của (UAV) thuộc đường thẳng cố định.
Bài 2: Cho tứ giác lồi ABCD có AD = BC. AC cắt BD tại I. Gọi S,T là tâm nội tiếp các tam giác AID,BIC. M,N là trung điểm các cạnh AB,CD. Chứng minh rằng MN chia đôi ST.
Bài 3: Cho tam giác ABC, đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. Kẻ DH vuông góc EF tại H, G là trung điểm DH. Gọi K là trực tâm tam giác BIC. Chứng minh rằng GK chia đôi EF.
Bài 4: Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I), (I) tiếp xúc với BC,CA,AB tại D,E,F. Gọi AI cắt DE,DF tại K,L; H là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC, M là trung điểm BC. Chứng minh rằng bốn điểm H,K,L,M cùng thuộc một đường tròn có tâm nằm trên (Euler) của tam giác ABC.
chị gisp em bài này
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Các cạnh AB, BC, CA lần lượt tiếp xúc đường tròn (I) tại các tiếp điểm là D, E, F. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, đường thẳng này cắt tia EF tại K.
a) Chứng minh: AD = AK.
b) Qua D kẻ đường thẳng song song với BC, đường thẳng này cắt đoạn thẳng EF ở M. Các đoạn thẳng AE và DM cắt nhau ở N. Chứng minh NM = ND.
Cho tam giác ABC vuông tại A,có AB < AC. Vẽ AH vuông góc BC tại H.Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HD=HA
a)C/m tam giác HCD=tam giác HCA
b)c/m BD vuông góc DC
c) Qua điểm A vẽ đường thẳng song song với BC,qua điểm c vẽ đường thẳng song song với cạnh AB,hai đường thẳng này cắt nhau tại E . C/m AE=BC
d) Gọi M là trung điểm cạnh HC, qua M vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh HC cắt cạnh DC tại I .Từ H vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh AB tại k. C/m K,H,I thẳng hàng
Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Lấy G thuộc cạnh AC sao cho AG = AC. Tia DG cắt BC tại E. Qua E vẽ đường thẳng song song với BD, qua D vẽ đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng này cắt nhau tại F. Gọi M là giao điểm của EF và CD. Chứng minh: a) G là trọng tâm tam giác BCD. b) , từ đó suy ra EC = DF
Giải hộ mình bài này với: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), có AB<AC. Kẻ các đường cao BE, CF. Gọi H là trực tâm, M là giao điểm của EF và AH. Vẽ đường kính AK cắt cạnh BC tại N.
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp
b) Chứng minh HK song song với MN
c) Qua H vẽ đường thẳng cắt AB, AC lần lượt tại P, Q sao cho HP=HQ. Chứng minh HK vuông góc với PQ.
a) Xét tứ giác BFEC: ^BFC=^BEC=900 => Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn (đpcm).
b) Dễ thấy tứ giác ABKC nội tiếp đường tròn (O) => ^CAK=^CBK hay ^CAN=^CBK (1)
AK là đường kính của (O); B nằm trên (O) => AB\(\perp\)BK
Mà CF\(\perp\)AB => BK//CF => ^CBK=^BCF (2)
(1); (2) => ^CAN=^BCF. Mà ^BCF=^CAH (Cùng phụ ^ABC) => ^CAN=^BAH hay ^CAN=^FAM
Lại có: ^ACN=^AHE (Cùng phụ ^HAC)
Dễ chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn => ^AHE=^AFE
=> ^ACN=^AFE. Hay ^ACN=^AFM
Xét \(\Delta\)AMF và \(\Delta\)ANC: ^ACN=^AFM; ^CAN=^FAM => \(\Delta\)AMF ~ \(\Delta\)ANC (g.g)
=> \(\frac{AM}{AN}=\frac{MF}{NC}\)(*)
=> ^AMF=^ANC => 1800 - ^AMF=1800 - ^ANC => ^FMH=^CNK
Tứ giác ABKC nội tiếp (O) => ^ABC=^AKC. Mà ^ABC=^AHF (Cùng phụ ^BAH)
=> ^AKC=^AHF hay ^NKC=^MHF.
Xét \(\Delta\)NCK và \(\Delta\)MFH: ^NKC=^MHF; ^CNK=^FMH => \(\Delta\)NKC ~ \(\Delta\)MFH (g.g)
=> \(\frac{HM}{NK}=\frac{FM}{NC}\)(**)
Từ (*) và (**) => \(\frac{AM}{AN}=\frac{HM}{NK}\Rightarrow\frac{AM}{HM}=\frac{AN}{NK}\)=> MN//HK (Định lí Thales đảo) (đpcm).