Đặt \(x+2y+1=a\)

\(P=a^2+\left(a+4\right)^2=2a^2+8a+16=2\left(a+2\right)^2+8\ge8\)

Giups mik vs

\(A=\left|x-3\right|+\left|y+3\right|+2016\)

\(\left|x-3\right|\ge0\)

\(\left|y+3\right|\ge0\)

\(\Rightarrow\left|x-3\right|+\left|y+3\right|+2016\ge2016\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(x-3=y+3=0\)

\(x=3;y=-3\)

\(MinA=2016\Leftrightarrow x=3;y=-3\)

\(\left(x-10\right)+\left(2x-6\right)=8\)

\(x-10+2x-6=8\)

\(3x=8+10+6\)

\(3x=24\)

\(x=\frac{24}{3}\)

x = 8

Áp dụng BĐT \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\) và BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có:

\(P=\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(2x+\frac{1}{x}+2y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(2+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\frac{4}{1}\right)^2}{2}=\frac{6^2}{2}=18\)

Nên GTNN của P là 18 đạt được khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

bạn thật là thông minh quá đi^^

Cho tớ hỏi: vì sao bạn chưng minh được a^2+b^2>=(a+b)^2/2 vậy . Mình không biết rõ chỗ chứng minh bất đẳng thức này

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(\sqrt{x\left(2x+y\right)}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\sqrt{3x\left(2x+y\right)}\le\frac{5x+y}{2\sqrt{3}}\)

Tương tự: \(\sqrt{y\left(2y+x\right)}\le\frac{5y+x}{2\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x\left(2x+y\right)}+\sqrt{y\left(2y+x\right)}\le\frac{6\left(x+y\right)}{2\sqrt{3}}=\frac{3\left(x+y\right)}{\sqrt{3}}\)\(\Rightarrow P=\frac{x+y}{\sqrt{x\left(2x+y\right)}+\sqrt{y\left(2y+x\right)}}\ge\frac{x+y}{\frac{3}{\sqrt{3}}\left(x+y\right)}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y

bạn Kiệt có đánh sai chỗ nào ko vậy :)). mình thấy có 1 lỗi :)).

Đặt \(a=2x+y;b=2y+x\) \(\left(a,b>0\right)\)

Khi đó : \(P=\frac{2}{\sqrt{a^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{b^3+1}-1}+\frac{ab}{4}-\frac{8}{a+b}\)

Cô-si , ta có : \(\sqrt{a^3+1}=\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\le\frac{a+1+a^2-a+1}{2}=\frac{a^2+2}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^3+1}-1\le\frac{a^2}{2}\)

Tương tự : \(\sqrt{b^3+1}-1\le\frac{b^2}{2}\)

Mặt khác : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Rightarrow\frac{2}{a}+\frac{2}{b}\ge\frac{8}{a+b}\Rightarrow-\frac{8}{a+b}\ge\frac{-2}{a}-\frac{2}{b}\)

\(P\ge\frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}+\frac{ab}{4}-\frac{2}{a}-\frac{2}{b}=\left(\frac{4}{a^2}+1\right)+\left(\frac{4}{b^2}+1\right)+\frac{ab}{4}-\frac{2}{a}-\frac{2}{b}-2\)

\(\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{ab}{4}-\frac{2}{a}-\frac{2}{b}-2=\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{ab}{4}-2\ge3\sqrt[3]{\frac{2}{a}.\frac{2}{b}.\frac{ab}{4}}-2=1\)

Vậy GTNN của P là 1 \(\Leftrightarrow a=b=2\Leftrightarrow x=y=\frac{2}{3}\)

Mình nghĩ đề sửa là:

Cho các số x,y nguyên. Tìm GTM của biểu thức

\(P=\frac{2}{\sqrt{\left(2x+y\right)^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{\left(x+2y\right)^3+1}-1}+\frac{\left(2x+y\right)\left(x+2y\right)}{4}-\frac{8}{3\left(x+y\right)}\)

Cách làm giống @Thanh Tùng DZ@ nên không trình bày lại

Theo bđt Cauchy schwarz dạng Engel 

\(P\ge\frac{\left(2x+2y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{1+1}=\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right]^2}{2}\)

Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(bđt phụ) 

\(\Rightarrow P\ge\frac{\left[2.1+4\right]^2}{2}=\frac{36}{2}=18\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

\(P=\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(2x+\dfrac{1}{x}+2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(2x+2y+\dfrac{4}{x+y}\right)^2=18\)

\(P_{min}=18\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Cho mình hỏi bạn Nguyễn Huy Tú, hãy giải thích cho mình hiểu về bất đẳng thức Cauchy schawarz (Định lý, chứng minh,..). Đây là lần đầu tiên mình được nghe tên về bất đẳng thức này nên mong bạn giải thích dễ hiểu. Chúc bạn ngày một thành công hơn trong con đường học vấn của mình !