\(\text{Giả sử:}\left(a-1\right)\left(a+2\right)+12\text{ là bội của 9}\Rightarrow a^2+a+10\text{ là bội của 9}\Leftrightarrow a^2+a+1⋮9\)

\(\text{Giả sử:}a\left(a+1\right)+1⋮9\Rightarrow a^2+a=9k+8\left(\text{ k nguyên}\right)\)

mặt khác: a(a+1) chia 9 có thể 1 trong các số dư: 0.1;1.2;2.3;3.4;4.5;5.6;6.7;7.8;9.0 tức là:

0;2;6;3 khác 8.

Ta có điều phải chứng minh

\(\left(a+2\right)\left(a+9\right)+21⋮49\Leftrightarrow a^2+11a+39⋮49\Leftrightarrow a^2+11a-10⋮49\)

\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)^2-14⋮49\Leftrightarrow\frac{\left(a+2\right)^2}{7}-2⋮7\Leftrightarrow\left(a+2\right)^2⋮7\Leftrightarrow\left(a+2\right)^2⋮49\Rightarrow\frac{\left(a+2\right)^2}{7}-2⋮̸7̸\)

\(\text{vô lí nên ta có điều phải chứng minh}\)

b) Đặt $A=$ $(a-1).(a+2) +12$

$ = a^2+2a-a-2+12$

$ = a^2+a+10$

$ = a^2+a+1+9$

Giả sử $ A \vdots 9$

$\to a^2+a+1+9 \vdots 9$

$\to a^2+a+1 \vdots 9$

$\to 4a^2+4a+4 \vdots 9$ hay  : $a^2+4a+4 \vdots 3$

$\to (2a+1)^2 + 3 \vdots 3$

$\to (2a+1)^2 \vdots 3 \to 2a+1 \vdots 3$

Mà $3$ là số nguyên tố nên :

$(2a+1)^2 \vdots 9$

Do đó : $(2a+1)^2 + 3 \not \vdots 9$

Từ đs suy ra $A$ không là bội của $9$.

Câu b) em làm tương tự em tách thành chia hết cho $7$ vì $7$ là số nguyên tố.

a) Trường hợp 1: a=3k(k∈N)

Suy ra: \(\left(a-1\right)\left(a+2\right)+12=\left(3k-1\right)\left(3k+2\right)+12\)

Vì 3k+1 và 3k+2 không chia hết cho 3 nên \(\left(3k-1\right)\left(3k+2\right)+12⋮̸3\)

\(\Leftrightarrow\left(3k-1\right)\left(3k+2\right)+12⋮̸9\)(1)

Trường hợp 2: a=3k+1(k∈N)

Suy ra: \(\left(a-1\right)\left(a+2\right)+12=\left(3k+1-1\right)\cdot\left(3k+1+2\right)+12\)

\(=3k\cdot\left(3k+3\right)+12\)

\(=9k^2+9k+12⋮̸9\)(2)

Trường hợp 3: a=3k+2(k∈N)

Suy ra: \(\left(a-1\right)\left(a+2\right)+12=\left(3k+2-1\right)\left(3k+2+2\right)+12\)

\(=\left(3k+1\right)\left(3k+4\right)+12⋮̸9\)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra ĐPCM