Lời giải:

a. Tại $x=\frac{1}{2}=0,5$ thì $A=\frac{2014-0,5}{2015-0,5}=\frac{4027}{4029}$

Tại $x=\frac{-1}{2}=-0,5$ thì $A=\frac{2014+0,5}{2015+0,5}=\frac{4029}{4031}$

b. $A=\frac{2015-x-1}{2015-x}=1-\frac{1}{2015-x}=1+\frac{1}{x-2015}$

Để $A$ max thì $\frac{1}{x-2015}$ max

$\Rightarrow x-2015 là số nguyên dương nhỏ nhất 

$\Rightarrow x-2015=1$

$\Rightarrow x=2016$

\(A=\frac{x}{x^4+\frac{1}{x^2}}+\frac{\frac{1}{x}}{x^2+\frac{1}{x^4}}=\frac{x}{\frac{x^6+1}{x^2}}+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{x^6+1}{x^4}}=\frac{x^3}{x^6+1}+\frac{x^3}{x^6+1}=\frac{2x^3}{x^6+1}\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi: \(x^6+1\ge2\sqrt{x^6.1}=2x^3\)

\(\Rightarrow A\le\frac{2x^3}{2x^3}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x^3=1\Leftrightarrow x=1\)

Vậy GTNN của A là 1.

\(B=\frac{-8}{3x^2+1}\)

Cách 1:

\(3x^2+1>0\)không có GTLN \(\Rightarrow\frac{8}{3x^2+1}\)không có GTNN \(\Rightarrow-\frac{8}{3x^2+1}\)không có GTLN.

Cách 2:

\(3Bx^2+B=-8\Leftrightarrow3Bx^2+B+8=0\)

+B = 0 thì pt trở thành 0 + 0 + 8 = 0 (vô lí)

+Xét B khác 0. Để pt có nghiệm x thì \(\Delta'=0-4.3B\left(B+8\right)\ge0\Leftrightarrow B\left(B+8\right)\le0\Leftrightarrow-8\le B\le0\)

\(\Rightarrow-8\le B

k biet lam

\(\text{Ta có:}x^2+2x+6=x^2+2x+1+5=\left(x+1\right)^2+5\ge0+5=5\)

\(P=\frac{1}{x^2+2x+6}\ge\frac{1}{5}\Rightarrow\text{GTLN của }P\text{ là:}\frac{1}{5}\text{ khi: }x=\frac{1}{5}\)

a)Ta thấy:

\(-\left|\frac{1}{3}x+2\right|\le0\)

\(\Rightarrow5-\left|\frac{1}{3}x+2\right|\le5-0=5\)

\(\Rightarrow B\le5\)

Dấu "=" xảy ra khi x=-6

Vậy MaxB=5<=>x=-6

b)Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\).Ta có:

\(\left|\frac{1}{2}x-3\right|+\left|\frac{1}{2}x+5\right|\ge\left|\frac{1}{2}x-3+5-\frac{1}{2}x\right|=2\)

\(\Rightarrow C\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\orbr{\begin{cases}x=6\\x=-10\end{cases}}\)

Vậy MinC=2<=>x=6 hoặc -10

ĐKXĐ:

\(x-1\ne0\text{ và }x\ge0\)

\(x\ne1\text{ và }x\ge0\)

\(P=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right):\left(\frac{2}{x^2-2x+1}\right)\)

\(=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right):\left(\frac{2}{\left(x-1\right)^2}\right)\)

\(=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}-\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right):\left(\frac{2}{\left(\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\right)^2}\right)\)

\(=\frac{x-\sqrt{x}-2-x-\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}.\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{2}\)

\(=\frac{-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{2}\)

\(=-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)=-x+\sqrt{x}\)