M=5^10+5^11+5^12+5^13+...+5^2016+5^2017

M=(5^10+5^11)+(5^12+5^13)+...+(5^2016+5^2017)

M=5^10.(1+5)+5^12.(1+5)+...+5^2016.(1+5)

M=5^10.6+5^12.6+...+5^2016.6

M=6.(5^10+5^12+...+5^2016) chia hết cho 6

=> M là bội của 6 (đpcm)

10^n-4=10...0-4 (n số 0)

=999...96 (n-1 số 9)

Vì 999...96 có tổng các chữ số là 9n+6=3(3n+2) chia hết cho 3 nên 10^n-4 chia hết cho 3.

b/9^2n+1-14=9^2n.9-14=81^n.9-14=A1.9-14=A9-14=B5 chia hết cho 5. Vậy 9^2n+1 -14 chia hết cho 5

câu 2 nè:
=9²ⁿ*9-14
=...1*9-4-10
=...9 -4 -10
=...5-10
=...5 chia hết cho 5

10ⁿ- 4 = 99...6 (có n-1 chữ số 9)

theo dấu hiệu chia hết cho 3 thì 9(n-1) + 6 chia hết cho 3. Vì 9(n-1) chia hết cho 3, 6 chia hết cho 3

nên 10ⁿ- 4 chia hết cho 3 hay nó là bội của 3 

câu 2

ta phân tích 9^2n+1 ra còn 9^2n*9 .Vì 2 nhân với bất cứ số tự nhiên nào cũng có chữ số tận cùng là 8 chữ số sau:0;2;4;6;8

Ta có bất cứ số tự nhiên có cơ số là 9 và số mũ chẵn thì có kết quả là.....1(có n chữ số). Mà 9^2n*9 sẽ có chữ số tận cùng 9 vì bất cứ số nào nhân với chữ số tận cũng bằng số cuối của số tự nhiên được nhân.

Ta có 9^2n+1-14=.....9-14.Ta phân tích 14=10+4 mà....9-4-10=(...9-4)-10 vì 9-4 =5 mà....5-10 cũng có chữ số cuối tận cùng là 5

Mà các số có chữ số tận củng cùng là 0 hoặc 5 luôn chia hết cho  5

suy ra 9^2n+1-14 là bội của 5

Vậy 9^2+1-14 là bội của 5

nếu 3n+1 chia hết cho 10 thì phải cộng thêm 1 số chia hết cho 10 mà 4 ko chia hết cho 10

hay giả sử 3^n tận cùng là 5 thì mới +5 chia hết cho 10

mà 3n tận cùng là 3,9,7,1

nên ko thể có 3^n+4+1 chia hết cho 10

viết rõ đầu bài bạn nhé 3ⁿ⁺¹ không bao giờ bội của 10. vì nó chỉ có thể mang đuôi 1, 3, 9

\(10^{2021}+8=1....0+8⋮9\) (vì có tổng các chữ số là 9 chia hết cho 9)

\(10^{2021}+8=....00+8=....008⋮8\) (vì có 3 chữ số tận cùng là 008 chia hết cho 8)

Mà \(\left(8;9\right)=1\) nên \(10^{2021}+8⋮72\) hay là bội của 72

vì  3ⁿ + 1 =10k => 3ⁿ = 10k -1

=> 3ⁿ⁺⁴ +1 = 3⁴ . 3n +1  = 81.(10k -1) +1 = 810k - 81 +1 = 810k - 80 =10(81k -8)  chia hết cho 10

=> 3ⁿ⁺⁴ +1 là Bội của 10

3ⁿ + 1 là bội của 10

=> 3ⁿ + 1 chia hết cho 10

mà 1 chia 10 dư 1

=> 3ⁿ chia 10 dư 9

- Xét 3ⁿ⁺⁴ + 1

= 3ⁿ.3⁴ + 1

= 81.3ⁿ + 1

Có 81 chia 10 dư 1

3ⁿ chia 10 dư 9

=> 81.3ⁿ chia 10 dư 1.9 

=> 81.3ⁿ chia 10 dư 9

mà 1 chia 10 dư 1

=> 81.3ⁿ + 1 chia hết cho 10

=> 3ⁿ⁺⁴ + 1 chia hết cho 10

=> 3ⁿ⁺⁴ + 1 là bội của 10

=> Đpcm

Nếu 3ⁿ +1 là bội của 10 thì 3ⁿ +1 có tận cùng là 0 => 3ⁿ có tận cùng là 9

Mà : 3ⁿ⁺⁴ +1 = 3ⁿ . 3⁴ = .....9 . 81 + 1  = .....9 +1 = ......0

hay 3ⁿ⁺⁴ có tận cùng là 0 => 3ⁿ⁺⁴ là bội của 10

Vậy 3ⁿ⁺⁴ là bội của 10.