Lời giải:
Ta thấy:

$(-x^2y^3)^2\geq 0$ với mọi $x,y$

$(2y^2z^4=2(yz^2)^2\geq 0$ với mọi $y,z$

$\Rightarrow (2y^2z^4)^3\geq 0$ với mọi $y,z$
Do đó để tổng $(-x^2y^3)^2+(2y^2z^4)^3=0$ thì:

$-x^2y^3=2y^2z^4=0$

Hay $(x,y,z)=(x,0,z)$ với $x,z$ bất kỳ hoặc $(x,y,z)=(0,y,0)$ với $y$ là số bất kỳ.

có x²+117=y² ;x²+ y² =-117

giả sử x,y khác 2

do x,y nguyên tố nên x,y lẻ 

=>x² ,y² đều lẻ=>x² -y² chẳn (vô lý)

do đó trong x,y có 1 số bằng 2

mà x<y=>x=2

có y²=2² +117=121

=>y=11

vậy x=2,y=11

Bài 1: 

\(\Leftrightarrow\left(7x-11\right)^3=32\cdot25+200=1000\)

=>7x-11=10

=>7x=21

hay x=3

Để \(x^2+x+1\) là bội của x-2 thì \(x^2+x+1⋮x-2\)

=>\(x^2-2x+3x-6+7⋮x-2\)

=>\(7⋮x-2\)

=>\(x-2\in\left\{1;-1;7;-7\right\}\)

=>\(x\in\left\{3;1;9;-5\right\}\)

Có : x² > 0 ; y² > 0 ; z⁴ > 0

Với x, y , z nguyên dương

Vậy z⁴ < 90

Có : 3⁴ = 81            => z \(\le\)3 => z = 1 ; 2 ; 3

        4⁴ = 256            

TH1 : z = 1 ta có : x² + y² + 1⁴ = 90 <=> x² + y³ = 89

Ta có : x² > 0

           y³  > 0      Với x,y nguyên dương

Vậy y³ < 89

Mà  4³ = 64       => y \(\le\)4 => y = 1; 2 ; 3 ; 4

       5³ =125  

Ta có bảng : 

(Giải cả 3 TH ra thì dài lắm nên bạn làm tương tự nhé !)

KL : tìm được các cặp số x,y,z t/m : \(\hept{\begin{cases}x=9\\y=2\\z=1\end{cases}}\); \(\hept{\begin{cases}x=5\\y=4\\z=1\end{cases}}\);\(\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)